2014届数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座：圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系

【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点32圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标圆的方程、点与圆的关系；垂径定理的运用；圆的方程的求法；直线与圆的位置关系；圆的切线方程和弦长问题；圆的综合问题的解题思路；会建立右手直角坐标系，准确找到点的坐标.二.知识梳理1.空间直角坐标系：（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆4.圆的标准方程：圆心为，半径为，若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是5.圆的标准方程的两个基本要素：6.圆的一般方程：只有当时，①表示的曲线才是圆，把形如①的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当时，①表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程①只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形7.研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。直线与圆的位置关系有三种，若，则;;8.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，①②③④⑤过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是。当点在圆外时，表示切点弦的方程。一般地，曲线为切点的切线方程是：。当点在圆外时，表示切点弦的方程。这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。10.经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程11.经过直线与圆交点的圆系方程：经过直线与圆的交点的圆系方程是：三．考点逐个突破1.圆的方程例1.圆心在曲线y＝eq\f(3,x)(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－3)2＝(eq\f(18,5))2B．(x－3)2＋(y－1)2＝(eq\f(16,5))2C．(x－2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝9D．(x－eq\r(3))2＋(y－eq\r(3))2＝9[答案]C[解析]设圆心坐标为(a，eq\f(3,a))(a>0)，则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝eq\f(|3a＋\f(12,a)＋3|,5)＝eq\f(3,5)(a＋eq\f(4,a)＋1)≥eq\f(3,5)(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．此时圆心坐标为(2，eq\f(3,2))，半径为3，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝9.2.与圆有关的最值问题例2.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．1B．5C．4eq\r(2) D．3＋2eq\r(2)[答案]D[解析]由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(a＋b)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，等号在eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2－eq\r(2)，a＝eq\r(2)－1时成立．3.与其他知识的交汇命题例3.已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，该圆经过点A(0，p)，且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为________．[答案]1[解析]当圆心C的纵坐标为p时，C(eq\r(2)p，p)为圆心的圆方程为(x－eq\r(2)p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝eq\r(2)p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.4.直线与圆的位置关系的判断例4.已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析](1)将圆的方程配方，得(x＋eq\f(1,2))2＋(y－3)2＝eq\f(37－4m,4)，故有eq\f(37－4m,4)>0，解得m<eq\f(37,4).将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0，,x2＋y2＋x－6y＋4m＝0，))消去y，得x2＋(eq\f(3－x,2))2＋x－6×eq\f(3－x,2)＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>∴m的取值范围是(8，eq\f(37,4))．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up16(→))·eq\o(OQ,\s\up16(→))＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝eq\f(4m－27,5)③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝eq\f(3－x1,2)·eq\f(3－x2,2)＝eq\f(1,4)[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，将③代入上式，得y1·y2＝eq\f(m＋12,5)，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝eq\f(4m－27,5)＋eq\f(m＋12,5)＝0，解得m＝3，代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.5.直线与圆相交例5.(1)过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(5)[答案]B[解析]当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|取最小值2eq\r(3).(2)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))|(其中O为坐标原点)，则实数a等于()A．2B．－2C．2或－2 D.eq\r(6)或－eq\r(6)[答案]C[解析]∵|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))|，∴|eq\o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up16(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up16(→))|2－2eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))，∴eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up16(→))⊥eq\o(OB,\s\up16(→))，画图易知A、B为圆x2＋y2＝4与两坐标轴的交点，又A、B是直线x＋y＝a与圆的交点，∴a＝2或－2.6.圆与圆的位置关系例6.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切 D．相离[答案]B[解析]本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝eq\r(17)，∵3－2<eq\r(17)<2＋3，∴两圆相交．7.空间直角坐标系例7.如图正方体中，，求与所成角的余弦解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，∴，．．8.直线与圆的综合运用例8.(1)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq\r(3)，求a的值．[解析](1)∵(3－1)2＋(1－2)2>4，∴M在圆外，当过点M的直线斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，∵直线与圆相切，∴eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解之得k＝eq\f(3,4)，∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知eq\f(|a－2＋4|,\r(1＋a2))＝2，∴a＝0或a＝eq\f(4,3).(3)圆心到直线的距离d＝eq\f(|a＋2|,\r(1＋a2))，又l＝2eq\r(3)，r＝2，∴由r2＝d2＋(eq\f(l,2))2，可得a＝－eq\f(3,4).(2)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若以AB为直径的圆过原点O，求k的值；(3)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|.[解析](1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故椭圆方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)由题意可知，以AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＋\f(y2,4)＝1，))消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理可知：x1＋x2＝－eq\f(2k,4＋k2)，x1·x2＝－eq\f(3,4＋k2)，y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4－4k2,4＋k2)，所以，eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝－eq\f(3,4＋k2)＋eq\f(4－4k2,4＋k2)＝0，得k2＝eq\f(1,4)，即k＝±eq\f(1,2).(3)|eq\o(OA,\s\up16(→))|2－|eq\o(OB,\s\up16(→))|2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)－(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))＝xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)＝eq\f(6kx1－x2,4＋k2).因为A在第一象限，所以x1>0，又因为x1·x2＝－eq\f(3,4＋k2)，所以x2<0，故x1－x2>0，又因为k>0，所以|OA|>|OB|.9.与直线和圆有关的轨迹问题例9．（1）设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．[答案](x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－eq\f(9,5)且x≠－eq\f(21,5))[解析]如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(eq\f(x,2)，eq\f(y,2))，线段MN的中点坐标为(eq\f(x0－3,2)，eq\f(y0＋4,2))．由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3,y0＝y－4)).因为N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点(－eq\f(9,5)，eq\f(12,5))和(－eq\f(21,5)，eq\f(28,5))(点P在直线OM上时的情况)．（2）设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为()A．抛物线B