从判断、理解及解释中学习加及减应用题

从判断、理解及解释中学习加及减应用题.第一页，共77页。常聽到學生遇到的困難語文理解數學概念學習態度題型變化問題探討第一页第二页，共77页。為甚麼學生做那麼多練習，卻不見得有很大進步，更不知他們是否明白？究竟學生是如何學習加及減應用題的呢？他們在學習過程中原來可以不需判斷題型，也不需要對加及減的概念有深入的理解。學生學習加及減應用題的現況分析問題探討第二页第三页，共77页。如何讓學生多判斷及理解，甚至能解釋解題方法呢？問題探討你期望學生能解釋解題策略嗎？Itisacommonbeliefbymathematicseducatorsthatstudents,whounderstandmathematicalconcepts,areexpectedtobeabletotalkabout,explainandrepresenttheconcepts(Mousely,1999).第三页第四页，共77页。問題探討如何讓學生能判斷不同題型的意義呢？下列哪項練習形式能加強學生判斷題目的機會？練習中有同一類型的題目練習中混合多種不同類型的題目練習中混合兩種類型的題目其他“Contrast”iscomparingtheexperienceofsomethingelseinordertomakesurewhatthelearnerhasexperienced(Martonetal,2004).第四页第五页，共77页。問題探討如何讓學生明白及理解加及減應用題的概念呢？HiebertandCarpenter(1992)explainthataparticularmathematicalideacanoftenberepresentedandcommunicatedindifferentforms,suchasphysicalobjects,diagrams,writtensymbolsandspokenlanguage,studentscanconstructmeaningsthroughconnectingdifferentrepresentationsofthesamemathematicalideaorbetweenrelatedideaswithinthesameform.Lesh(1979)developedatranslationmodelforinstructions.Itsuggeststhatlearningisenhancedifstudentscanusemultiplewaystoinvestigatethesamemathematicalconceptandmaketranslationsbetweenandwithindifferentmodesofrepresentation.Studentscanusemanipulatives,pictures,writtensymbols,verbalsymbolsandreal-lifecontextstoexploreandrepresenttheconcept.第五页第六页，共77页。Mousley,J.(1999).Perceptionsofmathematicalunderstanding.InJ.M.Truran&K.M..Truran(Eds.),Makingthedifference(Proceedingsofthe22ndannualconferenceoftheMathematicsEducationResearchGroupofAustralasia,Adelaide,pp.388-395).Sydney:MERGA.Hiebert,J.&Carpenter,T.P.(1992).Learningandteachingwithunderstanding.InGrouwsD.A.(ed.).Handbookofresearchonmathematicsteachingandlearning,NCTM,Macmillan,Inc.,NewYork.Lesh,R.(1979).Mathematicallearningdisabilities:Considerationsforidentification,diagnosis,andremediation.InR.Lesh,D.Mierkiewicz,&M.G.Kantowski(Eds.),Appliedmathematicalproblemsolving(pp.111-180).Columbus,OH:ERIC/SMEAC.Marton,F.andTsui,A.B.M.withP.Chik,P.Y.Ko,M.L.Lo,I.Mok,D.Ng,M.F.Pang,W.Y.PongandU.Runesson(2004).ClassroomDiscourseandtheSpaceofLearning,N.J.:LawrenceErlbaum.References第六页第七页，共77页。學生學習加法及減法的難點……蘋果和橙共有/相差…………橙比蘋果多/少…………蘋果比橙多/少……加法及減法的情景頗複雜，學生不易掌握。第七页第八页，共77页。加法和減法的類型–

和及差蘋果98個，橙23個，……？蘋果和橙共有多少個？蘋果和橙相差多少個？蘋果比橙多幾個？橙比蘋果少幾個？98+23

和98–23

差有蘋果98個，吃去23個，還餘多少個？（為免學生記太多類型，此類也當作「差」類型）第八页第九页，共77页。蘋果98個，橙比蘋果多53個，橙有多少個？蘋果98個，(蘋果)比橙多53個，橙有多少個？蘋果98個，(蘋果)比橙少53個，橙有多少個？加法和減法的類型–

比98+53蘋果98個，橙比蘋果少53個，橙有多少個？98–53（求較多的一項）（求較少的一項）第九页第十页，共77页。加法和減法的類型–

比學生解答「比」類型題目上的迷思……比……少……，我知道了，這是減法。……比……多……，我知道了，這是加法。如何讓學生多判斷及理解，甚至能解釋解題方法呢？第十页第十一页，共77页。教學策略的構思讓學生先熟習同一類型題目，之後再進行不同類型的對比。和差比（註：類型名稱只方便學生了解及表達不同題型，並非正規的數學詞彙）第十一页第十二页，共77页。教學策略的構思

（運用圖像表達不同類型的概念）蘋果98個，橙有53個，共有水果多少個?蘋果：橙：9853+蘋果98個，橙有53個，蘋果和橙相差多少個?蘋果98個，橙有53個，蘋果比橙多幾個?蘋果98個，橙有53個，橙比蘋果少幾個?蘋果：橙：9853-第十二页第十三页，共77页。蘋果98個，橙比蘋果多23個，橙有多少個?蘋果98個，橙比蘋果少23個，橙有多少個?蘋果：橙：9898-23蘋果：橙：9898+23蘋果98個，比橙少23個，橙有多少個?蘋果：橙：9898+23蘋果98個，比橙多23個，橙有多少個?蘋果：橙：9898-23教學策略的構思

（運用圖像表達不同類型的概念）第十三页第十四页，共77页。和差比＋策略的發展讓學生由淺入深地熟習畫圖方法比－第十四页第十五页，共77页。和差比＋加入提示問題，讓學生先判斷哪一項較多。策略的發展比－第十五页第十六页，共77页。和差比＋再加入提示問題，讓學生先判斷題目類型，後判斷哪一項較多。策略的發展比－第十六页第十七页，共77页。和差比＋加入動腦筋時間，與學生多討論。策略的發展比－提示問題中不提供選擇。第十七页第十八页，共77页。和差比－策略的發展比＋第十八页第十九页，共77页。和差比－策略的發展比＋第十九页第二十页，共77页。和比－策略的發展差比＋第二十页第二十一页，共77页。和比(+)差比(-)和及比(+)混合差及比(-)混合比(+)及比(-)混合策略的發展第二十一页第二十二页，共77页。學生在評估中的表現部份題目類型答對率圖書館借出中文圖書656本後，還餘257本，原有中文圖書多少本?和80.7%中文簿72本，比英文簿多25本，英文簿有多少本?比73.7%美珍有貼紙18張，琪琪有31張，美珍比琪琪少貼紙多少張?差86.4%第二十二页第二十三页，共77页。學生在學習過程中遇到的一些問題第二十三页第二十四页，共77页。數棒的長短初次繪圖時，一些學生忽略了數棒的長短。兩條數棒長度一樣細數的數棒比大數的數棒長例如………學生的列式仍然正確，有需要讓他們分辨數棒的長短嗎？第二十四页第二十五页，共77页。學生已注意分辨數棒的長短，這能幫助他們正確地解題，尤其……加入提示問題後………數棒的長短其後加入要學生判斷數棒長短的問題比的類型第二十五页第二十六页，共77页。學生已注意分辨數棒的長短，這能幫助他們正確地解題，尤其……加入提示問題後………數棒的長短其後加入要學生判斷數棒長短的問題差的類型中小數在大數之前的題目第二十六页第二十七页，共77页。類型的判斷混淆了不同類型的圖像例如………從圖像中，我們了解到雖然學生的算式正確，但其實概念並不清晰。為甚麼學生會混淆不同類型的圖像呢？學生有先判斷題型嗎？一些學生初時未能判斷運用那種類型的圖像。第二十七页第二十八页，共77页。類型的判斷例如………讓學生先判斷題目旳類型，並對比不同類型的題目。學生了解到即使相同地用減法，兩道題目的「減」也可有不同的意義。第二十八页第二十九页，共77页。類型的判斷讓學生先判斷題目旳類型，並對比不同類型的題目。在課堂中多討論，對比不同類型的例子，例如………「和」與「差」的對比「和」與「比(＋)」的對比第二十九页第三十页，共77页。類型的判斷讓學生先判斷題目旳類型，並對比不同類型的題目。在課堂中多討論，選取學生的不同答案作討論。第三十页第三十一页，共77页。圖像與列式的關係圖錯引致式錯應是手提電話較貴列式對但圖錯了解學生問題後，以圖像作解釋，學生較易明白。如何處理一些學生的錯誤？第三十一页第三十二页，共77页。圖像與列式的關係如何處理一些學生的錯誤？類型正確但圖像不完全配合「和」及「差」類型較多漏寫加/減附號，「比」類型則較少漏。23－15672＋456考慮改良方法第三十二页第三十三页，共77页。圖像與列式的關係如何處理一些學生的錯誤？類型正確但圖像不完全配合哥哥有郵票68枚，送了19枚給妹妹，他還有郵票多少枚？標準圖像學生圖像哥哥：68－19妹妹：19圖像雖和標準的不同，但概念正確第三十三页第三十四页，共77页。圖像與列式的關係為甚麼有些學生會先列式，後畫圖呢？學生有否連繫圖像、情景及算式的意義呢？學生能解釋他們的解題方法嗎？第三十四页第三十五页，共77页。先讓學生二人一組互相解釋嘗試讓學生解釋係比嘅題目。羽毛球拍有245，所以枝棒就長啲。乒乓球拍係少過羽毛球拍，所以佢枝棒短啲，短幾多呢？短102，所以佢嘅列式係245減102，列式係245減102，等如143。課堂片段第三十五页第三十六页，共77页。嘗試讓學生解釋老師抄出同學答案，讓同學向全班解釋。題目係比嘅題目。小健有815分，比子宏多112，所以佢條棒就長啲。老師：指埋畀我哋睇邊條棒。子宏815減112，短幾多呢？短咗112，所以子宏嘅答案係815減112。課堂片段第三十六页第三十七页，共77页。嘗試讓學生解釋學生能解釋計算方法，更肯定自己解題的準確性。老師：啱唔啱口架？你覺得啱唔啱？肯唔肯定呀？點解你咁肯定呀？解釋吓。哩個題目係「比」，哩個題目類型係「比」。遊戲機比手提電話便宜238元，所以手提電話比遊戲機貴238元，所以枝棒長啲，所以答案係547加238。課堂片段第三十七页第三十八页，共77页。嘗試讓學生解釋學生是否一開始就能解釋得好呢？多練習、老師示範、要點提示不是，但會不斷進步，他們需要：－說出類型－解釋數棒的長短－解釋為何要用加/減第三十八页第三十九页，共77页。嘗試讓學生解釋在引入「比和」類型題目時，更著重要求學生解釋。第三十九页第四十页，共77页。嘗試讓學生解釋雖然老師有所提示，但解釋得仍算清楚。在引入「比和」類型題目時，更著重要求學生解釋。運動褲就要售378蚊，比運動衣平198蚊，所以運動褲枝棒短啲，運動衣枝棒就長啲，佢話買一套需付多少元，所以列式係378……所以要將佢哋相加，所以列式係378再加198蚊。

課堂片段第四十页第四十一页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？聖公會奉基千禧小學的學生(小二)如何解釋他們的解題方法？說出題目類型解釋兩個項目各自代表數棒的長短解釋運用加或減的原因第四十一页第四十二页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？天神嘉諾撒學校的經驗（小三）第四十二页第四十三页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？學生在課堂中互相解釋，增加她們解釋的機會。不同能力的學生互相澄清概念。天神嘉諾撒學校的經驗（小三）A：中文書係比英文書少，咁即係將2650本加番1250本。B：咁點解要加法口架？A：因為中文書比英文書少，而題目係要求英文書嘅數量，所以要用加法。B：因為呢，中文書已經有咁多，英文書重多過中文書喎，即係英文書多過中文書啦。但係佢話比英文書少，即係中文書比英文書少，其實可以喺度加中文書。A：中文書比英文書少，即係等如英文書比中文書多，所以應該用加法。B：係喇。課堂片段第四十三页第四十四页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？學生在解釋時，自行發現自己的問題。天神嘉諾撒學校的經驗（小三）學生：中文書嘅數棒就係有2650本，英文書，因為佢係比中文書多嘅，所以就加1250本。老師：數棒嘅長短可唔可以解釋吓呀？你因應啲乜嘢嚟決定數棒嘅長短口架？學生：因為英文書係多啲，所以……中文書係……課堂片段第四十四页第四十五页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？學生從對比中判斷及解釋兩個相似情景的分別。天神嘉諾撒學校的經驗（小三）英文書比中文書少嘅數目係1250，所以而家我哋搵英文書有幾多本。所以我哋要用中文書嘅數量減番佢地相差嘅數目。老師：咁同B嗰個有乜嘢分別呀？佢呢度話呢，有中文書2650本，但係比英文書少，所以呢就係英文書比中文書係多1250本，所以係加。課堂片段第四十五页第四十六页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？以圖像作解釋解釋棒的長短解釋數目代表的意思解釋運用加/減的原因表現較佳的同學能：天神嘉諾撒學校的經驗（小三）圖書館有中文書2650本，比英文書少1250本，英文書有幾多本？咁好明顯英文書應該係多過中文書，所以條數棒會長啲，而中文書條數棒就會短啲，而1250就係佢地相差嘅數目。咁點解要用加法呢？就係因為英文書重多過中文書，加埋呢個答案係3900，即係話英文書有3900本。課堂片段第四十六页第四十七页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？如何令其他同學留心聆聽？鼓勵她們發問問題及提出疑問天神嘉諾撒學校的經驗（小三）學生：1250有理由咁細粒喎。老師：咁即係話你覺得佢哋嘅數棒點呀？學生：唔合理。老師：有啲唔合理，係咪呀？如果畀你畫，你會點呀？學生：長啲。課堂片段第四十七页第四十八页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？把小三的經驗推展至小二小二學生已開始解釋圖像及解題方法老師給學生的解釋指引天神嘉諾撒學校的經驗（小三小二）第四十八页第四十九页，共77页。如何使學生能解釋他們的解題方法？天神嘉諾撒學校的經驗把小三的經驗推展至小二小二學生已開始解釋圖像及解題方法題目話呢上層有92架車，然之後呢佢就話下層比上層少咗，即是下層少啲，咁下層嗰條數棒就會短啲，上層嗰條數棒就長啲，然之後佢就話下層比上層少45輛，相差就45，然之後佢要計小嗰項資料，所以就用減。課堂片段第四十九页第五十页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）圖像稍有分別第五十页第五十一页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）圖像稍有分別第五十一页第五十二页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）學生運用符號協助解題。第五十二页第五十三页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）照顧不同能力學生的個別差異第五十三页第五十四页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）較強調讓學生分辨及明白在相同情景及提問下，題目的不同寫法。第五十四页第五十五页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）較強調讓學生分辨及明白在相同情景及提問下，題目的不同寫法。第五十五页第五十六页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）較強調讓學生分辨及明白在相同情景及提問下，題目的不同寫法。第五十六页第五十七页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）較強調讓學生分辨及明白在相同情景及提問下，題目的不同寫法。學生能根據相同圖像、情景及提問，自擬題目的不同寫法。第五十七页第五十八页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）為深化學生的概念，讓學生明白，不同類型的題目，均可出於同一情景。第五十八页第五十九页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）為深化學生的概念，讓學生明白，不同類型的題目，均可出於同一情景。第五十九页第六十页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）為深化學生的概念，讓學生明白，不同類型的題目，均可出於同一情景。第六十页第六十一页，共77页。以多判斷及理解為原則設計課業天神嘉諾撒學校的不同經驗（小二）為深化學生的概念，讓學生明白，不同類型的題目，均可出於同一情景。第六十一页第六十二页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）一年級的學生能判斷、理解及解釋加及減應用題的解題方法嗎？第六十二页第六十三页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）加及減應用題的三種類型和取去相差第六十三页第六十四页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）學生以數的組合學習加法及減法第六十四页第六十五页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）學生以數的組合學習加法及減法第六十五页第六十六页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）「和」及「取去」的對比第六十六页第六十七页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）「取去」及「相差」的對比第六十七页第六十八页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）「和」及「相差」的對比第六十八页第六十九页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）「和」、「取去」及「相差」的對比第六十九页第七十页，共77页。讓學生從判斷、理解及解釋中學習加及減應用題香海正覺蓮社佛教正慧小學的經驗（小一）學生根據老師的示範配合動作解釋「和」類型的題目哩題係和嘅題目，因為我哋要將兩樣嘢夾埋一齊。有男孩子7個，同埋女孩子5個，夾埋有人12個。所以7就代表男孩子，5就代表女孩子，夾埋有人係12人。課堂片段第七十页第