正弦定理省赛一等奖

正弦定理长沙市第十五中学张琛为了建一条连接山体两底侧A、B间的隧道，请你设计一种方案，利用皮尺和经纬仪，测量被山体隔开的A、B两地距离。AB提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思问题一：某同学的方案是：选取点C，构造

△ABC，测量C，A的度数及BC的长a。

怎样计算AB长？适当选取位置C，使∠C=90º，解直角三角形，AB=；问题二：若在实际操作中，限于条件无法构造直角三角形，你还能解决吗？asinAABC()提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思a问题三：特殊的三角形——直角三角形△ABC中，C=90º，你能发现各边角之间满足什么关系式吗？问题四：猜想，这一关系式在任意三角形中是否成立？ABCabc提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思问题五：请同学们探究上述结论的证明思路？探究方案：直角三角形——已验证

锐角三角形——课堂探究

钝角三角形——课后证明提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思转化为直角三角形等面积法

外接圆法射影法问题六：你能用刚学的向量知识证明吗？启发2：上述结论反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢？启发3：向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间怎么转化呢？启发4：这一转化出现了新角90°-α，怎样体现？AC+CB=AB数量积：a·b=|a||b|cosθ通过透导公式sinα=cos（90°-α）转化作辅助单位向量j垂直于三角形一边如AC边启发1：三角形的三边具有怎样的向量关系？ABCabcj提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思则有j

与的夹角为，j

与的夹角为.等式怎样建立三角形中边和角间的关系？即ABCabcj在锐角三角形中，证明过点A做单位向量j垂直于AC证明∴j.AC+j.CB=J.ABAC+CB=AB提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思问题七：我们把上述关系称为正弦定理，你能用文字叙述该定律吗？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思问题八：正弦定理可以解决什么类型的

三角形问题1、已知两角和任一边，求其他两边和一角2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思例1、（解决课前提出的问题）为测量被山体隔开的A、B两地的距离，找到能到过A、B两地的C地，测得AC=1000m，∠A=45º，∠B=30º，

求AB两地距离（sin75º=09659,

保留四个有效数字）。ABC()解：∵ABsinCACsinB=C=180。-AB=105。∴AB=AC.sinCsinB1000sin105。sin30°=≈1932（米）答：A、B两地的距离约为1932米。提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思例2、在△ABC中，已知b=20，A=30º，a=，求B。60°ABCb

在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝，求B（2）b＝20，A＝60°，a＝

，求B（3）b＝20，A＝60°，a＝15，求B.提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思问题九：“已知两边和其中一边的对角解三角形”时，怎样确定解的个数？sinB=若>1，则问题无解。若=1，则问题有一解。若<1，则根据“内角和定理”及“大边对大角”等性质，结合具体情况进行取舍。bsinAa提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思bsinAabsinAabsinAaA为锐角时实际问题建立模型转化、探索正弦定理分析、归纳解决实际问题类比、猜想小结：提出问题类比猜想实验验证理论验证解决问题归纳反思