简单线性规划问题

332-1简单线性规划问题复习：1、直线的截距：注意：截距不是距离，有正负y=x+1y=-x+3横截距：直线与轴交点横坐标纵截距：直线与Y轴交点纵坐标在同一坐标系上作出下列直线:2y=0；2y=1；2y=-3；2y=4；2y=7YoyO问题1:有无最大（小）值？问题2:y有无最大（小）值？问题3:=2y有无最大（小）值？在不等式组表示的平面区域内在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域55x=1x－4y+3=03x+5y－25=01ABCC(1,4.4)A(5,2)B(1,1)Oxy求=2y的最大值和最小值。所以最大值12最小值为3这是斜率为-2，纵截距为的直线【解析】1线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、y的约束条件，这组约束条件都是关于、y的一次不等式，故又称线性约束条件．2线性目标函数;关于、y的一次式=2y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、y的解析式，叫线性目标函数3线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题概念4可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．转化转化转化四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移（平移直线L。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作（作=ABy=0时的直线L。）图解法结论:线性约束条件可行域线性目标函数=ABy一组平行线最优解寻找平行线组的

最大（小）纵截距0xy4348M（4，2）问题：求利润=23y的最值0xy4348N（2，3）变式：求利润=3y的最值问题：

设=2-y，式中变量，y满足下列条件求的最大值和最小值yO这是斜率为2，纵截距为-的直线【解析】两个结论：2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义y前系数为正y前系数为负1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。5非线性目标函数的最值问题问题：默写两点间的斜率公式:。问题：说出上述目标函数的几何意义:。探究一：对形如

目标函数的最值可行域内的任一点，y与定点Ma，b的连线的斜率C例2：变量,满足;

1求可行域内的点与原点连线的斜率的表达式；2求的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-3（2）因为表示可行域内任一点与原点O连线的斜率由图观察可知：变式：变量

满足

；(1)设,求

的取值范围；(2)设,求

的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M问题1：默写两点间的距离公式:。

默写点到直线间的距离公式：。问题2：说出上述目标函数的几何意义:。探究二：对形如

目标函数的最值可行域内的任一点，y到定点Ma，b的距离的平方例1：变量

满足(1)求可行域内的点

到原点的距离的平方Z的表达式；(2)求Z的取值范围。123456789-1-1123456yx0-2-3123456789-1-1123456yx0-2-3解:画出可行域,如图所示表示可行域内的点，y到定点O0，0距离的平方所以，由图观察可知求出交点坐标变式：设

满足;

(1),求

的最小值；(2),求

的最值。123456789-1-1123456yx0-2-3●Q●M【例2】解作出可行域如图，并求出顶点的坐标A1,3、B3,1、C7,9．规律方法非线性目标函数最值问题的求解方法1非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离或平方，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．2常见代数式的几何意义主要有：线性规划中最优整数解的选取例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板张、第二种钢板y张，可得x0y2y=153y=272y=18y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*经过可行域内的整点B3,9和C4,8且和原点距离最近的直线是y=12，它们是最优解作出一组平行直线=y，目标函数=yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时=y=114,但它不是最优整数解，将直线y=114继续向上平移,2y=153y=272y=18y=0直线y=12经过的整点是B3,9和C4,8，它们是最优解作出一组平行直线=y，目标函数=yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点A时=y=114,y=12y=12解得交点B,C的坐标B3,9和C4,8调整优值法2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*x0y15

练习:例4某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t．甲、乙两种产品各生产多少（精确到1t），能使利润总额达到最大？分析：这是线性规划的理论和方法的应用中的第一类问题．即在人力、物力资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多任务．解题一般步骤为：①设出所求的未知数；②列出约束条件③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图解法求出最优解．依据题中已知条件，列表如下：

甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200煤（t）49360利润（元）6001000

资源消耗品产品解：生产甲、乙两种产品分别为t,yt,利润总额为，由题意可得已知变量与y满足约束条件利用图解法可求出最大值此时，例5某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和B型卡车，已知A型卡车每天每辆的运载量为30t，成本费为09千元，B型卡车每天每辆的运载量为40t，成本费为1千元（1）假如你是公司的调度员，请你按要求设计出公司每天的派车方案；（2）设每天派出A型卡车辆，B型卡车y辆，公司每天所花成本费千元，写出、y应满足的条件以及与、y之间的函数关系式；3如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A型卡车、B型卡车各为多少辆？解：由已知条件可知，=y式中与y变量应满足：34y≥280≤≤60≤y≤4从而求出的最小值