数学物理方程-分离变量法

第二章分离变量法

齐次发展（演化）问题的求解齐次稳定场问题的求解非齐次问题的求解多变量推广本章小结§2.1齐次发展方程的分离变量法一分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题

设代入上述波动方程和边界条件得

方程、边界条件均齐次用遍除

两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作------

这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离称为固有值（本征值）问题

1、在λ<0时，方程的解是

积分常数和由边界条件确定

由此解出=0,=0，从而

2、λ=0

时方程的解是则仍然解出

3、λ>0的情况

方程的解是

只有才能保证，方程有非零解

此时再看关于T的方程

于是或

称为固有值，

称为固有函数

这个方程的解

分离变量的形式解

(n=1,2,3,…)

由叠加原理，一般解为：

现在要求出叠加系数和

满足初始条件

方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得，则可得原问题的解：

按上述公式计算出系数和注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。

如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。

分离变量流程图固有值（特征值）问题偏微分方程

【例题1】

磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题【解】设并代入方程得

分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分离变量流程图固有值（特征值）问题现用遍除各项即得

经讨论，当时有解

于是得固有值问题当时有解

由定解条件得任意，于是有固有值和固有函数现确定积分常数，由条件知

由第一式可得

而只有

，因此第二式变为于是有固有值和固有函数现在需要求解综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为当时有解

当时有解其中均为独立的任意常数。由初始条件得

把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数，得

由叠加原理，一般解为【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件

试探解

代入方程和边界条件得固有值问题

【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。和常微分方程分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下分离变量流程图固有值（特征值）问题经讨论知，仅时有非零解，且只有由得由得于是得固有值和固有函数为由此得下面求解得由叠加原理，得确定系数,由初值条件知

于是如取，则

从而下列问题

的解为图形如下:(程序:my1)(a)精确解图(b)瀑布图

思考题：如何求解下面的波动问题

习题：习题1（1）、（3）；习题2；习题3（2）；§2.2稳定场齐次问题的分离变量法1矩形区域上拉普拉斯方程

【例题1】散热片的横截面为矩形。它的一边处于较高温度，边处于冷却介质中而保持较低的温度,其他两边，温度保持为零，求解这横截面上的稳定温度分布.【解】先写出定解问题定解问题

方程齐次这组边界条件齐次用分离变量法分离变量流程图固有值（特征值）问题设形式解为：

代入上述泛定方程,得到得到固有值问题和常微分方程得固有值：

固有函数：

而于是有叠加得为确定叠加系数，将代入非齐次边界条件

将等式右边展开为傅里叶正弦级数,并两边比较系数，得

联立求解得故原问题的解为小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件是齐次的，则可使用分离变量法求解。图形如下：（程序：my2）(a)精确解图(b)瀑布图【例2】求解下列问题特点：边界条件均非齐次

让和分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件，即则，而上面两个定解问题分别用例1的方法求解。称为定解问题的分拆。

【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。

【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴，物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程

（在柱外）

可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成2圆形区域问题设分离变数形式的试探解为

代入拉普拉斯方程，得令此条件是根据电学原理加上的移项、整理后得：分离为两个常微分方程

（自然边界条件，附加）得固有值和固有函数为和固有值问题解得将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程

作代换则，方程化为：

于是通解是

解得即一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,即：

由此得：

由条件得主要部分是项,可见在表达式中不应出现高次幂，于是

最后得柱外的静电势为：由知结合前面系数关系，有习题6、8

§2.3非齐次方程的求解

设该问题的解为：例1求解有界弦的受迫振动问题（Ⅰ）我们已经知道，对应齐次问题的固有函数系为又设因已知，所以

固有函数展开法（又称傅立叶级数法）代入非齐次方程和初始条件得：用Laplace变换求解得：∴

方法总结：将未知函数和非齐次项按照对应的齐次问题的固有函数展开，其展开系数为另一变量的未知函数，代入非齐次方程和初始条件确定该未知函数。设：【解】对应齐次问题的固有函数系为代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振动问题（Ⅱ）代入初始条件

于是：

当时：

的解为

解释推导：对应齐次方程的通解为

设非齐次方程的特解为，解得

于是非齐次方程的通解为由定解条件得代入整理即得。故原问题的解为解释【例题3】均匀细导线，每单位长的电阻为R通以恒定的电流I，导线表面跟周围温度为零度的介质进行热量交换。设导线的初始温度和两端温度都是零度，试求导线的温度变化。【解】设导线的热传导系数、热交换系数、比热和密度分别为

，由热量守恒定律其定解问题为：

对应的齐次问题的固有函数为：，故令而其中代入方程，比较系数得：由常微分方程的知识：的解为知其中代入初始条件得：

于是：

从而原问题的解为习题10（2）、（3）

§2.4非齐次边界条件问题

上一节研究了非齐次偏微分方程，齐次边界条件的情况。现在讨论非齐次边界条件下的情况。【例1】长为、侧面绝热的均匀细杆，在的一端保持恒温，另一端有热流为的定常热流进入。设杆的初始温度分布是，求杆上的温度变化.【解】物理问题的定解问题按照叠加原理，将的定解问题分解为两部分之和，满足定解问题即解得满足定解问题解释为什么？由分离变量法知，其解为由初值条件知故与t无关，设v=v(x)小结：满足定解问题即可边界