导数及其应用函数的极值与导数

高中数学人教A版

选修2－2

第一章No1middleschool，mylove！若函数f的定义域为区间a，b，导数f'在a，b内的图象如图所示，用极值的定义你能判断函数f在a，b内的极小值点有几个吗No11middlschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数预学1:函数极值、极值点的定义1极大值点与极大值:如图①，在包含0的一个区间a，b内，函数y＝f在任何一点的函数值都小于或等于0点的函数值，称点0为函数y＝f的极大值点，其函数值f0为函数的极大值图①图②No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数2极小值点与极小值:如图②，在包含0的一个区间a，b内，函数y＝f在任何一点的函数值都大于或等于0点的函数值，称点0为函数y＝f的极小值点，其函数值f0为函数的极小值图①图②No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数3极大值和极小值统称极值取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值议一议:函数的极大值一定大于极小值吗【解析】不一定No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数预学2:判断函数y＝f的极值的一般方法解方程f'＝'0＝0时:1如果在0附近的左侧f'0＞0，右侧f'0＜0，那么f0是极大值;2如果在0附近的左侧f'0＜0，右侧f'0＞0，那么f0是极小值No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数练一练:函数f的定义域为开区间a，b，导函数f'在a，b上的图象如图所示，则函数f在开区间a，b上的极小值的个数为A1B2C3D4【答案】ANo11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数预学3:用导数求函数极值的方法和步骤若y＝f在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值第一步，求导数f'第二步，求方程f'＝0的根＝0第三步，判断＝0是不是函数的极值点，若是，则求f0的值，即为极值，若不是，则无极值No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数1利用导数求函数的极值与极值点例1、求函数f＝3－12的极值与极值点【方法指导】首先从方程f'＝0入手，求出在函数f的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数【解析】f'＝32－12＝3＋2－2，∈R，令f'＝0，得＝－2或＝2当变化时，f'，f的变化情况如下表:x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f'(x)＋0－0＋f(x)↗16↘－16↗No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数从上表可以看出:当＝－2时，函数f取得极大值，且极大值为f－2＝16，即＝－2为函数f的极大值点;当＝2时，函数f取得极小值，且极小值为f2＝－16，即＝2为函数f的极小值点x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f'(x)＋0－0＋f(x)↗16↘－16↗No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数因此当＝1时，函数f有极小值f1＝3，即＝1是函数f的极小值点x(0，1)1(1，＋∞)f'(x)－0＋f(x)↘3↗No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数2利用函数的极值确定参数的值例2、已知函数f＝a3＋b2－3在＝±1处取得极值1试确定常数a，b的值;2讨论f1和f－1是函数f的极大值还是极小值No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数2由1可得，f＝3－3，f'＝32－3＝3＋1·－1令f'＝0，得＝－1或＝1若∈－∞，－1或∈1，＋∞，则f'＞0，故f在－∞，－1和1，＋∞上是增函数若∈－1，1，则f'＜0，故f在－1，1上是减函数即f－1＝2是函数f的极大值，f1＝－2是函数f的极小值No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数变式训练2、设＝1与＝2是函数f＝aln＋b2＋的两个极值点1试确定常数a和b的值;2判断＝1，＝2是函数f的极大值点还是极小值点，并说明理由No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数3含有参数的函数极值的求法与讨论例3、已知函数f＝3－3a－1，a≠01求f的单调区间;2若f在＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f的图象有3个不同的交点，求m的取值范围【方法指导】1利用导数求单调区间;2先由题设条件求出a的值，再由1的结论，将问题y＝f和y＝m的图象有3个不同的交点利用数形结合的方法求解No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数2∵f在＝－1处取得极值，∴f'－1＝3×－12－3a＝0，∴a＝1∴f＝3－3－1，f'＝32－3由f'＝0解得1＝－1，2＝1由1中f的单调性可知，f在＝－1处取得极大值且f－1＝1，在＝1处取得极小值且f1＝－3∵直线y＝m与函数y＝f的图象有3个不同的交点，∴结合函数f的单调性，可知m的取值范围是－3，1No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数变式训练3、已知函数f＝a3－32＋1，若f存在唯一的零点0，且0＞0，则a的取值范围是A2，＋∞B－∞，－2C1，＋∞ D－∞，－1No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数的极值的步骤1确定函数f的定义区间，求导数f';2求方程f'＝0的根;3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，'在方程根左、右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f在这个根处取得极小值;如果左、右不改变符号，那么f在这个根处无极值No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数21利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解2因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性No11middleschool，mylove！第7课时函数的极值与导数2015年陕西卷对二次函数f＝