导数的几何意义省赛一等奖

513导数的几何意义学习目标1了解导函数的概念，理解导数的几何意义2会求简单函数的导函数3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一导数的几何意义如图，Pn的坐标为n，fnn＝1,2,3,4，P的坐标为0，y0，直线PT为在点P处的切线思考1割线PPn的斜率n是多少？思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率n与切线PT的斜率有什么关系？答案n无限趋近于切线PT的斜率梳理1切线的定义：设PPn是曲线y＝f的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f的切线2导数f′0的几何意义：导数f′0表示曲线y＝f在点处的切线的斜率，即＝＝3切线方程：曲线y＝f在点0，f0处的切线方程为___________________________在点P处0，f0f′0y－f0＝f′0－0思考已知函数f＝2，分别计算f′1与f′，它们有什么不同知识点二导函数f′1是一个值，而f′是一个函数梳理对于函数y＝f，当＝0时，f′0是一个确定的数，则当变化时，f′便是一个关于的函数，我们称它为函数y＝f的导函数简称导数,即f′＝y′＝特别提醒：

区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数′0是一个常数＝f在点0处的导数f′0就是导函数f′在点＝0处的函数值

3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点√√×题型探究类型一求切线方程解答解将＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P2,4∴＝＝4∴曲线在点P2,4处的切线方程为y－4＝4－2，即4－y－4＝0反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线y＝2＋1在点P2,5处的切线与y轴交点的纵坐标是_____答案－3解析∴＝＝4∴曲线y＝2＋1在点2,5处的切线方程为y－5＝4－2，即y＝4－3∴切线与y轴交点的纵坐标是－3解答命题角度2曲线过某点的切线方程例2求过点－1,0与曲线y＝2＋＋1相切的直线方程解设切点为0，＋0＋1，解得0＝0或0＝－2当0＝0时，切线斜率＝1，过－1,0的切线方程为y－0＝＋1，即－y＋1＝0当0＝－2时，切线斜率＝－3，过－1,0的切线方程为y－0＝－3＋1，即3＋y＋3＝0故所求切线方程为－y＋1＝0或3＋y＋3＝0反思与感悟过点1，y1的曲线y＝f的切线方程的求法步骤1设切点0，f03解方程得＝f′0，0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求函数y＝f＝3－32＋的图象上过原点的切线方程解答∵Δy＝f0＋Δ－f0故所求切线方程为－y＝0或5＋4y＝0类型二利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是A0<f′2<f′3<f3－f2B0<f′2<f3－f2<f′3C0<f′3<f3－f2<f′2D0<f3－f2<f′2<f′3解析答案√f′2为函数f的图象在点B2，f2处的切线的斜率，f′3为函数f的图象在点A3，f3处的切线的斜率，根据图象可知0<f′3<f3－f2<f′2反思与感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决跟踪训练3若函数y＝f的导函数在区间上的图象可能是解析答案√解析依题意，y＝f′在上是增函数，则在函数f的图象上，各点的切线的斜率随着的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足例4已知曲线f＝2－1在＝0处的切线与曲线g＝1－3在＝0处的切线互相平行，求0的值类型三求切点坐标解答解对于曲线f＝2－1，对于曲线g＝1－3，引申探究若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求0的值解答反思与感悟求切点坐标的一般步骤1设出切点坐标2利用导数或斜率公式求出斜率3利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标4把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标跟踪训练4直线l：y＝＋aa≠0和曲线C：f＝3－2＋1相切，则a的值为____，切点坐标为__________答案解析解析设直线l与曲线C的切点为0，y0，又点0，f0在直线y＝＋a上，将0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去达标检测＝f在点0，f0处的切线方程为＋2y－3＝0，那么Af′0>0 Bf′0<0Cf′0＝0 Df′0不存在12345解析答案√12345＝a2在点1，a处的切线与直线2－y－6＝0平行，则a等于解析答案√所以2a＝2，所以a＝1＝f的图象如图所示，则f′A与f′B的大小关系是Af′A>f′BBf′A<f′BCf′A＝f′BD不能确定解析由导数的几何意义，知f′A，f′B分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′A<f′B12345解析答案√答案解析＝f＝22＋a在点P处的切线方程为8－y－15＝0，则实数a的值为_____12345－7由导数的几何意义可得，∴0＝2，∴P2,8＋a将＝2，y＝8＋a，代入8－y－15＝0，