第6讲函数的奇偶性与周期性2022版高三数学

第6讲函数的奇偶性与周期性课前双基巩固课前考点探究教师备用例题第二单元函数、导数及其应用内容与要求1结合具体函数,了解函数奇偶性的含义2会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性3了解函数的周期性知识聚焦1函数的奇偶性

偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有

,那么函数f(x)是偶函数

都有

,那么函数f(x)是奇函数

图像特征关于

对称

关于

对称

f-=ff-=-fy轴原点2函数的周期性1周期函数对于函数y=f,如果存在一个非零常数T,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f为周期函数,称T为这个函数的周期

2最小正周期如果在周期函数f的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f的最小正周期

fT=f最小的正数最小正数常用结论4已知函数f满足f3=f,当∈时,f=log424,则f2019=

1=fa是偶函数,则函数y=f的图像关于直线对称;若函数y=gb是奇函数,则函数y=g的图像关于点成中心对称

的图像关于点1,0对称,f25=2,则f-05=

探究点一函数奇偶性及其延伸微点1函数奇偶性的判断

利用函数的奇偶性可以解决以下问题:1求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值2求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出3求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f±f-=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程组,进而得出参数的值4画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像5求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值例31已知函数f,g的定义域都为R,且f是奇函数,g是偶函数,设h=|f1|g1,则下列结论中正确的是 Ah的图像关于点1,0对称Bh的图像关于点-1,0对称Ch的图像关于直线=1对称Dh的图像关于直线=-1对称微点3奇偶性延伸到其他对称性问题从平移角度说说对称性问题

由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论有:1若函数y=f为奇函数或偶函数,则函数y=fa的图像关于点-a,0对称或关于直线=-a对称;2若函数y=fa为奇函数或偶函数,则函数y=f的图像关于点a,0对称或关于直线=a对称探究点二函数的周期性及其应用

变式题2多选题函数f的定义域为R,若f1与f-1都是奇函数,则 Af是偶函数 Bf是奇函数Cf的周期为4 Df3是奇函数1注意周期性的常见表达式的应用2根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式或函数值得到整个定义域内的解析式或相应的函数值3在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则T∈且≠0也是函数的周期”的应用探究点三以函数性质的综合为背景的问题

微点1奇偶性与单调性的结合

1比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;2对于抽象函数不等式的求解,应变形为f1>f2的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式如1<2或1>2求解

函数性质的综合应用题型三高频考点命题点1函数的奇偶性与单调性相结合例42017·全国Ⅰ改编函数f在－∞，＋∞上单调递减，1＝－1，则满足－1≤f－2≤1的的取值范围是________【备选理由】例1考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断,注意运用定义法,考查化简变形能力和运算能力;例2考查了函数图像对称性的应用,结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数图像的对称性是解决本题的关键,是对正文例3对称性学习的补充;例3、例4主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,解抽象函数不等式的问题有两种方法,一种是将函数表达式直接写出,解不等式即可,一种是通过研究函数的单调性直接将不等式转化为自变量的不等关系命题点3函数的奇偶性与对称性相结合例6已知定义在R上的函数f，对任意实数有f＋4＝－f，若函数f－1的图象关于直线＝1对称，f－2＝2，则f2018＝________例7已知f的定义域为R，其函数图象关于＝－1对称，且f＋4＝f－2若当∈时，f＝6－，则f919＝_______22018·全国Ⅱ已知f是定义域为－∞，＋∞的奇函数，满足f1－＝f1＋若f1＝2，则f1＋f2＋f3＋…＋f50等于A－50 B0 C2 D503已知函数y＝f是R上的偶函数，对于任意∈R，都有f