对数的概念省赛一等奖

431对数的概念课标阐释思维脉络1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.(数学抽象)2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.(数学运算)3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.(数学抽象)激趣诱思知识点拨苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的运算而发明了对数对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙”对数究竟是什么它何以有如此大的魅力它的作用何在激趣诱思知识点拨知识点一、对数的概念1对数的定义:一般地,如果a=Na>0,且a≠1,那么数叫做以a为底N的对数,记作=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数2两种特殊的对数:名称定义常用对数将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lgN.自然对数e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记作lnN.激趣诱思知识点拨名师点析1“log”同、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面中,为什么规定a>0,a≠1,N>0呢理由:1若a<0,则取某些数值时,N不存在;2若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,logaN有无数个值,与函数定义不符;3若a=1,则当N≠1时,log1N不存在,当N=1时,log11有无数个值,与函数定义不符依据对数定义,N是指数幂,故N>0激趣诱思知识点拨微点拨给定底数后,对数运算是指数运算的逆运算激趣诱思知识点拨答案:1B2D激趣诱思知识点拨知识点二、对数的基本性质1对数与指数间的关系1当a>0,a≠1时,a=N⇔=logaN2对数恒等式=N2对数的基本性质1负数和零没有对数2对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,名师点析1对数恒等式的特点:1指数中含有对数形式;2同底,即幂底数和对数的底数相同;3其值为对数的真数1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”激趣诱思知识点拨微练习2若log3log2=0,则=

解析:2由已知得log2=1,故=2答案:1D22探究一探究二探究三素养形成当堂检测对数式与指数式的互化例1将下列指数式与对数式互化:分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟=b与ab=Na>0,且a≠1是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系如下图:2根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1将下列指数式与对数式互化:探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中的值:14=5·3;2log72=2;3lne2=;4log27=;5lg001=分析利用指数式与对数式之间的关系求解探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟指数式a=N与对数式=logaNa>0,且a≠1表示了三个量a,,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求下列各式中的值:2∵log216=,∴2=16,∴2=24,∴=43∵log27=3,∴3=27,即3=33,∴=3探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3求下列各式中的值:1lnlog2=0;2log2lg=1;分析利用logaa=1,loga1=0a>0,且a≠1及对数恒等式求值解:1∵lnlog2=0,∴log2=1,∴=21=22∵log2lg=1,∴lg=2,∴=102=100探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1在对数的运算中,常用对数的基本性质:1负数和零没有对数;2loga1=0a>0,a≠1;3logaa=1a>0,a≠1进行对数的化简与求值2对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用对数恒等式=Na>0,且a≠1,N>0的结构形式:1指数中含有对数式;2它们是同底的;3其值为对数的真数探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3求下列各式中的值:1lnlg=1;2log2log5=0;解:1∵lnlg=1,∴lg=e,∴=10e2∵log2log5=0,∴log5=1,∴=5探究一探究二探究三素养形成当堂检测对数发明的起源几乎所有的现代数学书中,对数运算是通过解指数方程来引入的但是,你知道吗对数发明的起源并不完全是这样的!这是不是多多少少让你觉得有些意外事实上,对数是简化繁杂运算的产物16世纪时,科学技术的飞速发展对计算技术的改进提出了前所未有的需求为了简化数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的比如,利用以下2的幂次的对应表可以方便地算出16×256的值4567891011121632641282565121

0242

0484

096探究一探究二探究三素养形成当堂检测首先,在第二行找到16与256;然后找出它们在第一行中对应的数,即4与8,并求它们的和,即12;最后在第一行中找到12,读出其对应的第二行中的数4096,这就是16×256的值当然,用这个表格解决不了一般的两个数相乘与相除的问题但是,不难想到,如果上述表格中第二行的数足够密,就能用类似的方法算出更多的乘积苏格兰数学家纳皮尔在17世纪的时候发明了对数方法后来的人们利用对数表就大大简化了有关乘除运算,简化的过程类似于计算上述16×256的过程,只不过查表的过程更加复杂探究一探究二探究三素养形成当堂检测a-25-a