几何与代数总复习

总复习

张小向

线性代数与解析几何

东南大学国家级精品课程一.行列式二.矩阵三.向量四.线性方程组五.二次型六.在几何中的应用内容提要

一.行列式

几何与代数总复习一.行列式

行列式

定义

性质

计算

方程组

秩

秩

极大无关组

线性相关性

特征多项式

伴随矩阵

逆矩阵

应用

克拉默法则

面积/体积

矩阵

向量组

叉积/混合积

几何

几何与代数总复习一.行列式

行列式

的

定义

低阶

一般

一阶

递推公式

排列组合a11A11+a12A12+…+a1nA1na11A11+a21A21+…+an1An1

数

二阶

三阶

对角线法则

行列式的性质

几何与代数总复习一.行列式性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则

D=0.性质2.(线性性质)(1)det(

1,…,k

j,…,

n)=kdet(

1,…,

j,…,

n);(2)det(

1,…,

j+

j,…,

n)=det(

1,…,

j,…,

n)+det(

1,…,

j,…,

n).

几何与代数总复习一.行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则

D=0.性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann

几何与代数总复习一.行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.设A方阵,则|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.注(1)若A为n阶方阵(n>1),且|A|=a,

则|A*||A|=|A*A|=|aE|=an.注(3)|P1AP|=|P1|

|A||P|=|P|1

|A||P|=|A|.注(2)若A可逆,则|A1||A|=|A1A|=|E|=1,

因而|A1|=|A|1.定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

几何与代数总复习一.行列式

几何与代数总复习一.行列式性质6.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).

几何与代数总复习一.行列式5.升阶.3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.

行列式的计算

1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形或分块三角形.AO

CB=|A|

|B|.ACOB=|A|

|B|,

几何与代数总复习二.矩阵

二.矩阵

矩阵

运算

分块运算

初等变换

线性方程组

向量空间

应用

标准形

规范形

正定性

向量组

秩

线性表示

线性相关性

二次型

特征值特征向量

相似

秩

齐次

非齐次

线性变换

坐标变换

基变换

几何与代数总复习二.矩阵运算前提条件定义性质加法A+BA与B是同类型的对应元素相加A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);A+O=A;A+(

A)=O数乘kAk是一个数用k乘A的每一个元素k(lA)=(kl)A;(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;(

1)A=A乘法ABA的列数=B的行数(aij)m

l(bij)l

n=(cij)m

ncij=(AB)C=A(BC);A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC;(kA)B=k(AB)幂AmA是方阵,m是正整数A1=A,Ak+1=AkAAkAl=Ak+l;(Ak)l=Akl转置AT无(aij)m

l

T=(aji)l

m(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT;(AB)T=BTAT多项式f(A)A是一个方阵,f(x)=asxs+…+a1x+a0f(A)=asAs+…+a1A+a0IA

=

(

)f(A)

=f(

)

,A

=

(

),f(A)

=O

f(

)=0行列式|A|A是一个方阵

,|A

1|=|A|

1逆矩阵A

1A是一个方阵且|A|

0若AB=BA=I则B=A

1唯一性,(A

1)

1=A,(A

1)m=(Am)

1,(AT)

1=(A

1)T,(kA)

1=k

1A

1,

(AB)

1=B

1A

1,满秩,特征值

0

矩阵的运算

几何与代数总复习二.矩阵行矩阵A1

n:只有一行,又名行向量.列矩阵An

1:只有一列,又名列向量.零矩阵:每个元素都是0,常记为Om

n或O.初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得.方阵:行数=列数.对称矩阵:AT=A.对角矩阵:diag{

1,

2,…,

n},常用表示.

数量矩阵:kE,kI,其中k为常数.单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,

常记为E或I.反对称矩阵:AT=

A.

正交矩阵:QTQ=QQT=E.正定矩阵:AT=A且

x

有xTAx>0.可逆矩阵:AB=BA=E.

几何与代数总复习二.矩阵

矩阵的乘积

向量组之间的线性表示(系数矩阵)

线性变换的合成(z=By=BAx)

二次型的矩阵表达式(f(x)=xTAx)

不满足消去律

结合律的妙用

不满足交换律

线性方程组的矩阵表达式(Ax=b)

两组基之间的联系(过渡矩阵)

有非平凡的零因子

应用

定义

性质(

T)k

(P1AP)k

向量的内积(

,=

T

)

实际问题(背景)

几何与代数总复习二.矩阵值得注意的现象:(1)AB和BA未必相等.(4)“AB=O”推不出“A=O或B=O”.(5)“AB=AC且A

O”推不出“B=C”.(2)(AB)2和A2B2未必相等.(3)(A+B)2和A2+2AB+B2未必相等,(A+B)(A

B)和A2

B2未必相等.例如:(10)02

=0

=(10)

03

,但,02

03

又如:=10000002

0000,10000003

=.0002

0003

但

几何与代数总复习二.矩阵

逆矩阵n阶方阵A可逆的充要条件定义:AB=BA=I

存在方阵B使AB=I存在方阵B使BA=I|A|

0Ax=

只有零解Ax=b

有唯一解秩(A)=nA的行(列)向量组线性无关A与I相抵(等价)A为有限多个初等矩阵的乘积A的特征值全非零

计算A

1

利用伴随矩阵利用初等变换(A

1)

1=A唯一性(A

1)m=(Am)

1(AT)

1=(A

1)T(kA)

1=k

1A

1(AB)

1=B

1A

1|A

1|=|A|

1若A可逆,则秩(AB)=秩(B)秩(CA)=秩(C)

是A的特征值

1是A

1的特征值n阶可逆矩阵的性质

几何与代数总复习二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A

1

几何与代数总复习二.矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A

1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A

1B=X

分块矩阵

初等行变换

几何与代数总复习二.矩阵

加法

逆矩阵

乘法

数乘

转置

行列式用初等行变换求A1(A,E)

(E,A1)解AX=B(A,B)

(E,A1B)Ax=b的增广矩阵(A,b)

向量组矩阵矩阵的相似标准形(Jordan标准形)矩阵的等价标准形Em

n(r)分块矩阵运算应用

几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算

转置A=A11…A1t………As1…AstAT=A11

…

A1tA1t

…

AstTTTT……

加法

数乘

逆矩阵

行列式

乘法

几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算

行列式其中A,B都是方阵.也未必成立,例如A

C

O

B

=|A|

|B|,A

OCB

=|A|

|B|,但即使A,B,C,D都是方阵,A

CDB

=|A|

|B|

|C|

|D|00

10

00

01

1000

0100

=

100000

01

00

100100

=10000100

00

1000

01=1.A1

…At

分块对角矩阵的行列式=|A1|…|At|.

加法

数乘

乘法

逆矩阵

转置

几何与代数总复习二.矩阵矩阵的分块运算

逆矩阵若A1,…,At都是可逆方阵A1

…At

1.=A1

…At

11(不必是同阶的),则

加法

数乘

乘法

转置

行列式

几何与代数总复习二.矩阵

与初等矩阵的联系

解矩阵方程

求逆矩阵

可逆性

解线性方程组求L(

1,…,

s)的基和维数

求矩阵的秩

保矩阵的秩

求合同标准形

求极大无关组矩阵的初等变换

求向量组的秩

性质

分类

初等行变换

初等列变换

线性方程组的初等变换

来源

应用

几何与代数总复习二.矩阵

矩阵的秩

最高阶非零子式的阶数

行向量组的秩

列向量组的秩r(A)=r(AT)A与B等价

r(A)=r(B)P与Q可逆

r(A)=r(PAQ)max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B)

A与B相似

r(A)=r(B)A与B合同

r(A)=r(B)r(A+B)r(A)+r(B)

r(A)+r(B)nr(As

nBn

t)r(A),r(B)

不等式

等式

行空间的维数

列空间的维数

定义

几何与代数总复习二.矩阵

特征值

和

特征向量

|

E–A|=|

E–(P1AP)|

i=tr(A),

i=|A|A可逆

A的特征值全不为零,此时A

=

A1

=

1

|

E–A|=|

E–AT|A

=

f(A)

=f(

)

对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=A

R且对应于不同特征值的特征向量正交

性质

应用

计算

定义相似对角化

用A=P1

P

计算Ak

化二次型为标准形

|

E–A|=0

(

E–A)x=0

A

=

其中

几何与代数总复习二.矩阵A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多项式

E–A

特征矩阵

特征值

特征向量n阶方阵

非零向量

几何与代数总复习二.矩阵计算|

E–A|例4.A=211121112,

–2–1–1

–1

–2–1

–1–1

–2例3.A=1230

4

0

567,|

E–A|=

–1–2–3

0

–4

0

–5–6

–7=(

–4)….例1.A=123045006

,|

E–A|=

–1

–2–30

–4

–500

–6

=(

–1)(

–4)(

–6).=

–4

–4

–4

–1

–2–1

–1–1

–2=(

–4)….例2.A=120

04

0

356

,|

E–A|=

–1

–200

–4

0

–3–5

–6

=(

–1)(

–4)(

–6).例5.A=1–2–210–31–1–2,

–12

2

–1

3

–1

1

+2=

–12

2

0

–1

–

+1

–1

1

+2=(

–1)….

几何与代数总复习二.矩阵

相似矩阵

反身性,对称性,传递性A~B

A

B(相抵/等价)A~B

|A|=|B|A~B

r(A)

=r(B)A~B

多项式f(A)~f(B)

A~B

|

E–A|=|

E–B|

性质

A与B相似(A~B):存在可逆阵P使P

1AP=BA~Btr(A)

=tr(B)

定义

相似对角化An

n有n个不同的特征值

An

n~对角阵

An

n~对角阵A有n个线性无关的特征向量

实对称矩阵一定可以正交相似对角化

几何与代数总复习

矩阵之间的三种等价关系相抵(又称等价)相似

相合(又称合同)定义

设A,B为两个m

n矩阵,若A可经过有限次初等变换化为B,即存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=B,则称A与B相抵(等价).设A,B为两个n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P

1AP=B,则称A与B相似.设A,B为两个n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得PTAP=B,则称A与B相合(合同).不变量

秩秩,特征多项式,特征值,迹,行列式一般情况:秩实对称矩阵:正惯性指数二.矩阵

几何与代数总复习相抵(等价)相似

相合(又称合同)标准形/规范形

若m

n矩阵A的秩为r,则其相抵标准形为一般情况:Jordan矩阵若A有n个线性无关的特征向量,则其相似标准形为:其中

1,

2,…,

n为A的全部特征值.若A为实对称矩阵,则其相合标准形为:若A为实对称矩阵,则其相合规范形为:其中p+q=秩(A).A与单位矩阵相抵

A可逆

|A|0…A与单位矩阵E相似

A=EA与单位矩阵相合

A正定Ir

OO

O

1

2

n…k1k2kn…Ip

IqO二.矩阵

几何与代数总复习相抵(又称等价)相似

相合(又称合同)判别

A与B相抵的大前提是它们是同类型的,但不要求一定是方阵.

A与B相似的大前提是它们是同阶方阵.

矩阵A与B相合的大前提是它们是阶方阵.容易证明与对称矩阵相合的矩阵一定是对称的.若A与B不是同类型的,肯定不会相抵.若同类型的矩阵A与B的秩不相等,则它们不相抵.若矩阵A与B的秩(或:迹,行列式)不相等,则它们不相似.若两个同阶方阵A与B的秩(或:迹,行列式)相等,再进一步比较它们的特征值,若它们的特征值不完全相同,则它们不相似.若矩阵A与B的秩不相等,则它们不相合.若两个同阶方阵A与B的中一个是对称的,而另一个不是对称的,则它们不相合.若两个同阶实对称矩阵A与B的正惯性指数不相等,则它们不相合.若A与B是同类型的,且秩相等,则它们相抵.

若方阵A与B的相似标准形相同,则它们相似.

若两个同阶实对称矩阵A与B的秩相等,正惯性指数也相等,则它们相合.二.矩阵

几个概念之间的联系

几何与代数总复习三.向量

三.向量

线性运算

度量

内积

线性映射

向量

向量组

矩阵

线性方程组

代数向量

几何向量

线性组合

线性表示

线性相关性

基

维数

极大无关组

秩

向量空间

长度

夹角

单位向量

正交

线性变换

正交变换

正交矩阵Schmidt正交化方法

几何与代数总复习三.向量n维向量的概念

n维向量

本质

表现形式

几何背景

n个数a1,a2,…,an构成的有序数组

向量/点的坐标

列矩阵

行矩阵

行向量

列向量

分量

几何与代数总复习三.向量列向量组:

1,

2,…,

s

矩阵A=(

1,

2,…,

s)

矩阵A的秩

向量组

1,

2,…,

s的秩

r(

1,

2,…,

s)

几何与代数总复习三.向量行向量组:

1,

2,…,

s

矩阵A的秩

向量组

1,

2,…,

s的秩

矩阵A=

1

2

s…r(

1,

2,…,

s)

几何与代数总复习三.向量r(

1,

2,…,

s)

sr(

1,

2,…,

s)

<sr(

1,

2,…,

s)

=s

1,

2,…,

s

线性无关

1,

2,…,

s

线性相关

几何与代数总复习三.向量A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans=(

1,

2,…,

s),

=b1b2bn…

,x=x1x2xs…,a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

几何与代数总复习三.向量=b1

b2

…bn=

a11x1+a12x2+…+a1sxs=b1a21x1+a22x2+…+a2sxs=b2

…

………

…an1x1+an2x2+…+ansxs=bn

Ax=

a11a21…an1=x1+x2a12a22…an2+…+xsa1sa2s…ans

a11x1+a12x2+…+a1sxs

a21x1+a22x2+…+a2sxs…

………an1x1+an2x2+…+ansxs

=x1

1+x2

2+…+xs

s

Ax=

有解

能由

1,

2,…,

s

线性表示Ax=

有非零解

1,

2,…,

s

线性相关

几何与代数总复习三.向量矩阵的乘积Cm

n

=

Am

sBs

n,=行向量

i=ai1

1

+ai2

2

+…+ais

s,i=1,2,…,m.列向量

j=b1j

1

+b2j

2

+…+bsj

s,j=1,2,…,n,向量组的线性表示:

向量组的线性表示与矩阵乘积

几何与代数总复习三.向量设A与B是同类型的矩阵,但是反过来,都未必成立.例如:(1)若它们的行向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).(2)若它们的列向量组等价,则r(A)=r(B),从而可得A与B等价(相抵).则A与B等价(相抵),但它们的行向量组不等价,A=1000,B=0001,列向量组也不等价.

几何与代数总复习三.向量其中

1,…,

s是维数相同的列向量(

1,

2,…,

s也是维数相同的列向量),则

1,…,

s也是线性相关的.

一些常用的结论

(1)含有零向量的向量组一定线性相关.(2)单个向量

构成的向量组线性相关

=

.(3)两个向量

,

线性相关

与

的分量成比例.(4)若

1,…,

s线性相关,则

1,…,

s,

s+1,…,

t也线性相关.

若

1,…,

s,

s+1,…,

t线性无关,则

1,…,

s也线性无关.

(5)任意n+1个n维向量线性相关.(6)如果向量组,…,线性相关,

1

1

s

s

线性无关.若

1,

2,…,

s线性无关,则,…,

1

1

s

s

几何与代数总复习三.向量则I0与I等价.(7)向量组

1,…,

s

(s

2)线性相关的充分必要条件是:其中至少有某一个向量可由其余的向量线性表示.(8)若向量组

1,…,

s线性无关,而

1,…,

s,

线性相关,则

一定能由

1,…,

s线性表示,且表示的方式是唯一的.(9)若向量组I:

1,…,

s可由向量组II:

1,…,

t

线性表示,并且s>t,则向量组I是线性相关的.(10)若

1,…,

s线性无关,且可由

1,…,

t线性表示,则s

t.(11)若向量组

1,…,

s和

1,…,

t都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.(12)设I0:

1,…,

r是向量组I:

1,…,

s的一个极大无关组,

一些常用的结论

几何与代数总复习三.向量这两个向量组的秩都是2,但它们不等价.事实上,I中的不能由II线性表示.)例如:

一些常用的结论

(13)若向量组I:

1,…,

s可由向量组II:

1,…,

t线性表示,则秩(I)秩(II);若这两个向量组等价,则秩(I)=秩(II).(注:一般情况下,两个向量组的秩相等时,它们未必等价!,1000I:;0100II:,0010,00011000

几何与代数总复习四.线性方程组

四.线性方程组

基本概念

基本理论

应用(非)齐次线性方程组

基础解系

解空间(非)零解

解的存在性与通解的结构

研究线性相关性

线性表示,求坐标

求矩阵的特征向量

平面的位置关系

特解

解(向量)

通解

系数矩阵

增广矩阵

几何与代数总复习四.线性方程组定理1.设A

Rm

n.若m<n(方程的个数小于未知量的个数),则齐次线性方程组Ax

=

有非零解,且其通解中至少含n

m个自由未知量.性质1.若

,

都是Ax=

的解向量,则

+

也是Ax=

的解向量.性质2.若

是Ax=

的解向量,k

R,则k也是Ax=

的解向量.定理2.设ARm

n,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=

没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=

确有基础解系,

且任一基础解系中均含有n

r个解向量.

几何与代数总复习四.线性方程组解齐次线性方程组Am

nx=

的一般步骤性质3.与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.性质4.若ARm

n,秩(A)=

r,则Ax=

的任意n

r个

线性无关的解向量都是Ax=

的基础解系.A初等行变换行阶梯形秩(A)<n?行最简形

解最简方程只有零解N初等行变换Y

几何与代数总复习四.线性方程组定理3.设ARm

n,bRm,则(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);

(2)当秩