工程结构非线性分析

第2章结构几何非线性1.概述在线弹性力学分析中，假定位移与应变关系是线性的，且应变为小量，由此而得到线性几何方程。当考虑位移与应变的非线性关系或采用大应变理论（有限变形理论）则都属于几何非线性问题，亦即非线性问题包括了大位移、小应变以及大位移、大应变等问题，此时均导致几何运动方程成为非线性。但材料的本构关系还是符合虎克定律，结构的弹性稳定问题是结构非线性分析的内容之一。

第2章1几何非线性问题至今尚未完全成熟，仍然是一门正在迅速发展与完善的课题。这主要表现在建立非线性有关基本方程方面存在不同学派的争论，他们各有优缺点，并未得到一个权威性的结论；由于大变形引起载荷的变动（非保守系统）对方程与解的影响问题研究很少，也无明确、相对肯定的结论，大多数问题的局限在保守系统内；大应变下，应变不可叠加性的讨论与研究也不成熟；几何非线性解法发展尚处在活跃阶段，尚未找到一种十分满意的适应性广、收敛快的解法。

第2章2二.变形体的运动描述ox1x3x2t0=0tntn+1=tn+△tnA0AnAn+1·P0·Pn·Pn+1第2章3图示一变形体在to=0时有构形Ao，物体中一质点Po的坐标为（x10，x20，x30)，在t=tn时，物体有运动构形An，质点Po运动至Pn，在时间tn+1=tn+△tn时，物体运动有构形An+1，质点运动至Pn+1，对于变形体及其上的质点运动状态，可以随不同的坐标选取有以下几种描述方法：第2章4全拉格朗日列式法（T.L列式法－TotalLagrangianFormulation）。选取to=0时刻未变形物体的构形Ao作为参照构形进行分析。修正的拉格朗日列式法（U.L列式法－UpdatedLagrangianFormulation）。选取tn时刻的物体构形An为参照构形。由于An随计算而变化，因此其构形和坐标值也是变化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增量步的开始时刻。

第2章5尤拉描述法（Eulerian

Formulatlon）独立变量是质点P当前时刻的位置xn+1与时间tn+1。现在用得最为广泛的是Lagriangian列式，因此下面主要讲述T.L和U.L下几何非线性有限元方程的建立。第2章6三.线弹性杆单元刚度矩阵建立的步骤1.选择插值函数描述体内任一点的位移第2章72.根据几何方程及位移函数确定应变矩阵[B]

第2章83.求单元的总势能∏第2章94.根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k]第2章10

求和约定四.杆元非线性几何运动方程

1.变形体运动方程的一般描述第2章11第2章12Kroneker符号第2章13连续体变形的描述方法Lagrange法－用各质点在初始位置的坐标作为独立变量进行描述。即以变形前的初始构形为基准，然后确定它与变形构形间的相对变形，导出的应变张量称为Green应变张量。Euler法－用各质点位置的即时坐标或我们需要的时刻的坐标作为独立变量进行描述。即以变形构形为基准，然后确定其余初始构形间的相对变形，由此导出的应变张量成为Almansi应变张量。在连续介质力学中，变形体的运动描述仅分为Langrange和Euler两种方法，UL列式法归结到Euler列式法中。第2章14.

P(xi).

P’()x1x3x2orRu第2章15第2章16Lagrange描述－Green应变张量第2章17第2章18第2章19第2章20第2章21第2章22第2章23Euler描述－Almansi应变张量第2章24第2章25第2章262.杆元的几何运动方程uvl0lox(u)y(v)ij’i’j第2章27线性项非线性项第2章28

第2章29

第2章30基于工程应变定义，其内隐含着l与l0的方向一致，因此其适用于转动可以忽略不计的小转动情形。对于小位移和位移导数，两种应变张量及工程应变均趋于同一。工程应变不具可加性，而对数应变具备可加性3.几何运动方程评述第2章31第2章32对数应变－hanchi应变具有可加性第2章33不同杆元运动方程的比较图示杆元绕原点发生一刚性转动，转角为，因杆元仅发生刚性转动，故应变应为零，下面来考察不同的应变表达式对这一状态的描述结果。第2章34

第2章351.7×10-27.7×10-31.9×10-31.2×10-36.9×10-43.0×10-47.6×10-5-5.8×10-4-1.2×10-4-7.2×10-6-3×10-6-9.4×10-7-1.9×10-7-1.2×10-8-3.4×10-2-1.5×10-2-3.8×10-3-2.4×10-3-1.4×10-3-6.1×10-4-1.5×10-415°10°5°4°3°2°1°第2章36由此可以看出：第2章37第2章38第2章39

五.T.L列式下平面杆元的几何非线性切线刚度矩阵

1.杆元位移函数第2章40第2章412.几何方程

第2章423.应变方程与应变矩阵第2章43第2章444.物理方程5.杆元总势能第2章456.杆元切线刚度矩阵[K]T第2章46第2章47第2章48

六.U.L列式下平面杆元的几何非线性切线刚度矩阵

1.杆元位移函数注意下列推导过程中，杆元的节点位移和节点力实际为相应杆元的位移和节点力的增量。第2章49第2章502.几何方程

第2章51第2章523.应变方程与应变矩阵第2章53第2章544.物理方程5.杆元总势能第2章556.杆元切线刚度矩阵[K]T第2章56第2章57第2章58七.T.L列式法和U.L列式法评述在T.L中，保留了刚度矩阵中所有线性与非线性项；而在U.L中，忽略了高阶项，即忽略了结构的大位移矩阵。在T.L中，当单元刚度矩阵向结构刚度矩阵组装时，应当用初始时刻各单元坐标系与结构总体坐标系间的方向余弦，因此在整个求解过程中，它是不变的；而在U.L法中，单元刚度矩阵向结构总体刚度矩阵组装时，应采用上一级荷载增量末单元坐标系与总体坐标系间的方向余弦，因此在每一个荷载增量内它是变化的。

第2章593．在T.L中，单元刚度矩阵的积分是在初始时刻的体积内积分的；而在U.L中，积分是在上一级荷载增量末的单元体积内积分的，为此在程序中应保留每次变形后各节点坐标值，即：

第2章604．杆元节点坐标及其它参数的变化第2章61第2章625．因此在U.L中，在本级荷载增量内采用修正的并在本级荷载增量内将其视为不变，这样一步步的计算直至结束。因此UL列式法亦称为拖动坐标法。第2章63八.几个问题的讨论

1.关于杆元横向位移函数第2章64第2章65因此，前面所推导的单元刚度矩阵中的几何刚度矩阵是近似的，因为所用杆元的位移函数－三次多项式不是杆件考虑轴向内力效应平衡的微分方程的解。如果采用式（2）、（3）作为位移函数来建立刚度矩阵则是比较精确的。在UL列式法中，若采用梁柱函数作为杆元的横向位移函数，则在刚度矩阵的推导过程中，可不计及应变的非线性项进行推导而得出相应的非线性切线刚度矩阵[K]T。但此时无法将[K]T分解成[K0]与[KQ]之和。不过将此时[K]T的元素进行Taylor展开并取