平面向量中最值、范围问题解题模板

平面向量中最值、范围问题的解题模板【考点综述】平面向量中的最值和范闱问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范闱，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数•解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：定义法使用情景：已知涉及两向量的模以及夹角类型解题模板：第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系：第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.解题模板应用：例1平行四边形ABCD中，ZBAD=60\AB=l,AD=y/2,P为平行四边形内一点，且AP=AP=耳,若AP=XAB+s/?）»则入+近h的最人值为.AP=AP=耳,若AP=XAB+s/?）»则入+近h的最人值为.【解析】解题模板选择:本题中涉及两向量的模以及夹角，故选取解题方法模板一定义法进行解答.解题模板应用:第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；对AP=XAB+“乔（久,“£/?）两边平方可得（丽）一=（久丽+"丽）-可化为AP2=A2AB2+2ApABAD+AD2»据已知条件可得*=才+屈“+2“‘，.第二步运用基本不等式求其最值问题;—=22++2/r>3，即2/y<,12又(几+迈応=22+2屈“+2//2=*+屈“<|,第三步得出结论：则趴屁咨.故本题填半练习:1.己知在△ABC中，ZA=90\AB=AC=4yf2,动点P自点C出发沿线段C3运动,到达点B时停止运动，动点0自点3出发沿线段运动，到达点C时停止运动，且动点0的速度是动点P的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当APAQ取最大值时，|戸©|=（A.2B.1A.2B.1【答案】B【解析】【分析】分解向量乔=AC+CP,AQ=AB+BQ,将求丽•忑转化为求二次函数的最值问题，以此确定化。的位置，最后求得|起|的值.【解析】-ZA=90°,:.ABAC=0,依题意知BC=8,2|丽冃更|,7J5AQ=(AC+CP)(AB+BQ)=AC'AB+ACBQ+CPAB+cP'BQ=4>/2x2|CP|cos45o+4^2x|CP|cos45°-21CP|2=-2（|CP\-3）2+18,•••当|CP^3时，丽•西取得最大值，此时\BQ^6,.-.|Pe|=3+6-8=l.故选：B【点睛】本题考查平面向量的加法的三角形法则和平而向量的数量积、二次函数最值的求解；考查运算求解能力、化归与转化能力；把平而向量数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题是求解本题的关键；属于中档题.2.如图，在厶ABC中，D、E分别是BC、边上的中点，4Q与CE的交点为0,若AOBC=-3,AE=3近,则角3的最大值为•n【答案】v4【解析】【分析】表示AO=|（AB+ACy进一步可得帀=扌（阮-2刼），然后计算AOBC=-3可得关于|说|的一元二次方程，最后利用△»（）可得结果.【解析】根据题意可知：在△A3C中，D、E分别是BC、A3边上的中点所以0为厶ABC的重心，所以入刁=2丄•（廳+疋）=丄（亦+疋）3又农=梵-丽，所以AO=^BC-2BA}所以所以^BC-2BA]BC=根据AB=3&1，BABC=BA-BCcosB所以岂呵2jlcos科呵+3=0贝|JA=(-2>/2cos5)2-4xlx3>0所以cos2,由AO-BC=-3<0^所以Bw0$2\z则COS^>—,所以k4」所以3的最大值为£4故答案为：£4【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于||z?c|2-2>/2cos^|BC|+3=0的表示以及△"的使用和理解，属中档题.3.如图，在MBC中，AC=-BC9点M,N分别在AC,上，RAM=^AC93CPBN=-BC.若BM与AN相交于点P,则代的取值范围是_・AB【答案】(|,2).【分析】设BC=2,4C=3,由三点共线的向量表示可设CP=(l-x)CA+xCN=(l-y)CB+yCM,结合已知条件进一步得到CP=-CA+-CB,4,CP、r1133由此可得(乔)=~s+s'13-12cos(CACB\f结合余弦函数的有界性即可得岀答

案.8三点共【解析】不妨设BC=2,AC=3,由于A,P,N三点共线，M,P线,故由平而向量基本定理可设，CP=(l-x)CA+xCN=(1-y)CB+yCM,•・仙中C,8三点共CP=(l-x)CA+^CB=(l-y)CB+^CAii217亍・，解得{-=l-yCP~ABCP

(CB-CA)CP~ABCP

(CB-CA)21x=-23

r{CB-CA)2^cA13—12cos©.C〃)〈C4・CA)-13+331——+—x8813-12cos又-1<cos13—12cos©.C〃)〈C4・CA)-13+331——+—x8813-12cos又-1<cos(G4,CB、<1,?+丄+丄X3x2xcos/C4•帝二444'/4+9-2x3x2xcos(CA•CE^j112cos=_x一813-12cos©&)33]10+6cos〈c4112cos=_x一813-12cos©&)33.(―)2=--+-•••4〃8813-12cos洛⑷,CPI洛⑷,ABV5>故答案为：(―,2).【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及了平而向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.4.三角形ABC中，AB=2,|4C|=2j5,ABAC=45°,4.三角形ABC中，AB则PB・PC的取值范围是・【答案】［-p4］【分析】由于M=|4C|=2jI,ZB4C=45。，所以把AB,AC作为基底，而P为线段AC上任意一点，所以设PC=MC(0<r<l),然后利用向量的加减法法则把PB.PC分别用基底表示岀来，再求其数量积化简可求其最值.[:解析】解：®PC=MC(0<r<l),贝iAP=(l-t)AC9因为丙=恥_AP=AB-(l-t)AC,所以PA•PC=[AB-(l-t)AC]tAC=tAB-AC-t(l-t)AC2=2x2迈t・cos45°一t(l-t)x(2y/2)2=Sr-4t=8(/——)2——421因为所以—一WPBPCW4,2所以PBPC的取值范围为［-斗,4］，乙故答案为：［-*，4］乙【点睛】此题考查平向量基本定理的应用，解题的关键是选基底，属于中档题.5.在AABC中，满足：石丄疋，M是BC的中点.

（1）若。是线段AM上任意一点，K|A5|=|Xc|=>/2,求OA.OB+OCOA的最小值：（2）若点尸是ZBAC内一点，且卜牛2,AP-AC=2>AP-AB=b求AB+AC+AP\的最小值.7【答案】（1）——；（2）—2【分析】（1）设\OA\=xf则|丽卜l-x,根据向量加法的平行四边形法则可得OB+OC=2OM，再利用向量数量积定义可得OAOB+OCOA=^OAOM=2OAOMcos/r,配方即可求最值.（2）设心―讣今」由题意根据向量数量积的定义可得M=coL-可求解.网卜2sh将細+心朋两边平方展开，利用基本不等式即【解析】(1)•.•网|=|码=>/!,J丽卜1,设网=x,则|om|=1-x,而OB+OC=2O\f，:.OAOB+OCOA=OA^OB+OC)2OAOM=2OAOMcos/r=-2x(1-x)=2x=-2x(1-x)=2x2-2x=2(T)当且仅当X=|时，OAOB^OCOA的最小值是(2)设ZCAP=a^>ZBAP=--a92vAPAC=2>APAB=l>\AP\=2»同理:2•卜科cosy-cr=ln12silla同理:2•卜科cosy-cr=ln12silla^AB+AC+AP^=Ab\aC2+Ap\2AB-AC+2AC.AP.2AB.AP=^——+4+2+44siii"asm2a+cos2asin^AB+AC+AP^=Ab\aC2+Ap\2AB-AC+2AC.AP.2AB.AP=^——+4+2+44siii"asm2a+cos2asin2a+cos2a,,cos-.+4snr.+1°sm-acos*a45/surezcos^a45.4549=——；—+；—+——>2J——；；—+——=1+—=——cos"a4sin"a4ycos"cr4sin"a444、“rq/t7Sill(XCOS(Xn-F当且仅勻一l=—=>taiicr=—时，cos"a4snra2所以\ab+ac+ap\IImin【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.解题方法模板二：坐标法使用情景：己知向量坐标或向量具有坐标特征类型解题模板：第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;第二步将平面向量的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.解题模板应用:例2在AABC中，AB=3AC=9,AC.AB=AC点P是AABC所在平面内一点，则当PA2+PB2+PC2^得最小值时，PABC=（）A.—24B・65/2D.24【答案】D解题模板选择：本题中题意得CB丄AC.4建立适当的直角坐标，故选取解题方法模板二坐标法进行解答.解题模板应用：第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；ACAB=AC2.以C为坐标原点，直线CB,C4分别为儿y轴建立直角坐标系，因为AB=3AC=9,则4(0,3),3(60),P(x,y)第二步，将平面向量的运算坐标化；PA2+P52+PC2=x2+(y-3)2+(x-6^2)2+于+F+于=3(x-2>/2)2+3(y-1)2+54第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即W..-.x=2>/2,y=l时，PA2+PB2+PC2取得最小值，此时PA•BC=(-2^2,2)•(-6>/2,0)=24故选D.练习：6.已知平行四边形ABCD中，AB=AD=2,ZDAB=60°f对角线AC与相交于点O,点M是线段BC上一点，则页7•页7的最小值为()A.B.—C.--D.丄161622【答案】A【分析】以的中点为坐标原点，以所在直线为x轴，以C4所在直线为V轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线的方程为)，=-5/亍x-松，设点克-JI),(-1<%<0),求岀页7•阪的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【解析】如图所示，以的中点为坐标原点，以3D所在直线为x轴，以C4所在直线为)'轴，建立如图所示的直角坐标系，贝i」B(-l,0),C(0,-Q,所以直线FC的方程为y=-V3x-V3,66设点M(x,-屈—JJ),(-l<x<0),所以OM=(x,->/3x->/3),CM=(x-y/^x),所以丽・CM=x・(龙)「1"--sing[--,1],故选：c.・(龙)「1"--sing[--,1],故选：c.I6丿23q当x=—石时，OM〔CM•取到最小值一〒.o16故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.7.己知AB是半圆O的直径，AB=2,等腰三角形OCD的顶点C、D在半圆弧AB上运动，且OC=OD,ZCOD=120。，点P是半圆弧肋上的动点，则疋•而的取值范围（）A.B・［-和］444C.［一扣D.［一詁］【答案】C【分析】建立直角坐标系，设岀点C、D.P的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项.【解析】以点O为原点，为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，不妨取C（l,0）,则QPCPZ)=(l-cosa,-sina)j-i-cosa,^y--sina丄一—sina--cosa=--sui\a±-22227T不妨取C（l,0）,则QPCPZ)=(l-cosa,-sina)j-i-cosa,^y--sina丄一—sina--cosa=--sui\a±-22227T因为x［M］,所以吩號,H，所以sm”十詐［一扣］,所以【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为己知向量的方法，属于中档题.&在△ABC中，AB=*.BC=2,Z^=150°,点D是4C边上的一点（包括端点），点/"是人（？的中点，则加•丽的取值范围是（）•A.0,*）B.[硝]°D.[0,1【答案】B1一1一【分析】由点M是4C的中点，所以BM=-BA+-BC.把丽用丽、貳表示，最乙厶后求加•丽的范围即可.【解析】因为点M是AC的中点，所以BM』bA+2bC，22因为点D是4C边上的一点（包括端点），所以CD=ACA,Ae[QA],BD-BC=ABA-aBC,BD=aBA-^（1-A）BCt2丽+2丽+（1-小可则誠泌pu£斎+押贡+*（一）呼因为AB=*,BC=29Z^=150°,所以丽‘=3，BABC=-3^記=4，则丽？•而=*-”.因为OWE,则05”几斗故而7•丽的取值范围是0，扌故选：B.

【点睛】以三角形为载体，考查向量数量枳的取值范围，解决的关键是选择合适的基底表示向量，是基础题.9.如图，在平面四边形ABCD中，43丄BC,ZBCD=60,ZADC=150\BE=3EC,CM半，BE&,若点尸为边4D上的动点，则丽.丽的最小值为()【答案】B【分析】建立平而直角坐标系，设岀F点坐标，求得丽•丽的表达式，进而求得~EFBF的最小值.【解析】以B为原点建立如图所示平而直角.依题意CE=-BE=—,BC=BE+CE=—fZBCD=60。,333在三角形BCD中，由余弦定理得所以BD2+CD2=BC29所以ZBDC=90°.而BC=2CD.所以ZDBC=30\ZDCB=60\在三角形CDE中，由余弦定理得在三角形CDE中，由余弦定理得所以CE2+DE2=CD2,所以ZDEC=90\在三角形中，ZABD=ZADB=60^所以三角形ABD是等边三角形,一7一7厶4』.816所以肋=BD=2.所以A（0,2）,D（5/3,l）,E（5/3,0）,设F（x,y）依题意令AF=ZAD（O<1）,即（x,y—2）=2（JJ,—1）=（久）,所以严屈屈,所以尸（屁2-可,y-2=-2[y=2-2'）所以亦3尸=（屈_若,2_2）•（屈,2_2）=4/—7几+4・7对于二次函数/（2）=4A2-72+4（0<2<2）,其对称轴为2=-,开口向上，所以Oz、当/=-时，/（久）有最小值，也即亦・3尸有最小值为4x8【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法,属于难题.10.如图，在等腰梯形ABCD中，BC=3,ZC=45°,高为£•为4£>的中点，P为折线段C-D-AL的动点，设匪.丽的最小值为/⑺），若关于。的方程f（a）=ka-l有两不等实根，则实数R的取值范围是（）

A.品)B.A.品)B.【答案】A【分析】先以3为坐标原点，为x轴，建立直角坐标系，设P的横坐标为X，将匪•丽用尤表示分段表示出来，再求最小值/(«)，再对f(a)=ka-l有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求岀。的取值范围.【解析】解：以3为坐标原点，BC为尤轴，建立直角坐标系如图所示:设P的横坐标为■则a<x<3当a<xv3—c/H寸，P在4£)上动，P(x,a),则bEbP=*+才当x=d时，丽•丽的最小值f(a)=a33则R=a+—33则R=a+—+在(0怙)有两不等实根，a22133^iy=k^y=ci+-+-9ae(0.-)有两个交点.a221373当g=1时，y=a+—+牙有最小值为三，当qtO时，yn,当时,a222当3-6/<x<3,时，P在CD上动，则P(兀3—x),则BEBP=|x+(3-x)6/=§加兀+3a,TOC\o"1-5"\h\z9当x=3—a时，BEBPW®/(«)=cr--a+-399又(a?+-a)-(a2——a+—)=3a——<0,2224^ift/((7)=(72+-a,ae23又/(°)=滋-1有两不等实根，则a2+-a=ka-l在空(0巧)有两不等实根,711即方程f(a)=ka-l有两不等实根有：故选:A【点睛】本题考查了平而向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大.解题方法模板三：基底法使用情景：已知向量直接求解不易需转化为其他向量(即基底)的类型.解题模板：第一步利用基底转化向量；第二步根据向量运算律化简目标；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论.解题模板应用：例3在等腰梯形ABCD中，已知ABhDC,AB=2,BC=1,ZABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上，且3左=2B©DF=—DC,则疋•乔的最小值为.92【答案】屁【解析】解题模板选择:本题中所求向量易转化为基底向量AB.AC,故选取解题方法模板三基底法进行解答.解题模板应用:第一步，利用基底转化向量；AE=AB+BE=AB+ABC,———————1-92—1+92——AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC182第一步，利用基底转化向量；AE=AB+BE=AB+ABC,———————1-92—1+92——AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC182182第二步，根据向量运算律化简目标；AC=2xlxcosl20=--2★「FC1+92▲°19+92z,21o17所以4E・AF=x4+兄+x（-l）=——+—几+—181892218第三步，运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想.三角函数思想等得出结论.211729?29才冶声瓦当且仅当r时取等号'故填T?练习:11.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线4C上一点，则刃•（丙+而）的最小值是（）B.-14A.0D.-2【答案】B【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得岀帀•（丙+而卜_2可得选项.作出图形如丙•（丙+而）=丙2帀n—2网怦卜一2丙•（丙+而）=丙2帀n—2网怦卜一2十2所以PA-[PB+PD)>-2土,当且仅当网|=“|时取等号，所以丙•（丙+而）的最小值是-扌,故选：B.BC【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题.已知4M,分别为圆q：(x+l)'+尸=1与Q:(x-2)'+尸=4的直径，则ABMN的取值范围为()A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]【答案】A【分析】由题先画岀基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得亦mN=[O]O；+(AO；+O期.[o】O；_(AO；+O同]=9一|迈+0町,结合卜0[+0旳的范围即可求解【解析】如图，ABMN=(AO；+O@+O.B)(MO[+OtO：+O2N)=+(AO；+0出)[-(AO[+0期=|疏『一|码+帀『=9一|码+込§『其中|码+帀卜[2-1,2+1]=[1,3],所以AB-M^e[9-32,9-l2J=[0,8].【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题已知△43C是边长为4石的等边三角形，其中心为O,P为平面内一点，若OP=1,则PAPB的最小值是A.-11B.-6C.-3D.-15【答案】A【分析】作岀图像如下图所示，取43的中点为D由OP=1,则P在以0为圆心,以1为半径的圆上，再由公式商乔（顶十阿一0-呵0而I何一防匕,可得选项.TOC\o"1-5"\h\z4【解析】作岀图像如卜•图所示，取43的中点为D,则00=473x2^x1=2,因23为OP=1,则P在以0为圆心，以1为半径的圆上，则顷略逻四卫迺L画也=加一2•又加为圆。上4的点P到D的距离，则^=2-1=1,刃•"的最小值为-11・故选：A.【点睛】本题考查向量的数量枳的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.已知圆0是边长为2的正方形的内切圆，MN为圆0的一条直径，点P为正方形四条边上的一个动点，则丽•顷的取值范围是【答案】［0,1【分析】作出图形，考虑P是线段43上的任意一点，可得出|而卜以及PM=PO+OM,PN=PO-OM,然后利用平面向量数量枳的运算律可求得

PMPN的取值范lfl・【解析】如卜•图所示:考虑P是线段A3上的任意一点，PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,圆。的半径长为1,由于P是线段AF上的任意一点，则|P0|g[1,V2],所以，PM・pN=(p0+OM)・(p0_OM)=p0'_OmVw[OJ]・故答案为:[0,1].【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.15.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=29CD=l9M是线段上的动点,若BD.AM=-3,则BdBC的取值范禺是【答案】丄4)【解析】【分析】由平而向量数量积的性质及其运算得到丽•荒=野=£-8,再结合BA.BC=|BAHBCl^cos^,求岀丽•葩的取值范圉・【解析】解：由已知有：冃bC|,CD=^BAfBM=XBC，(O0W1),贝ljBDAM=(BC+CD){AB+BM)=(5C+|BA)(ABC-BA)=-32+822-22+822-2=182-2因为0^2^1,/.BA.BCe[1,10],因为BA.BC=\BA\^BC\<os09其中0为丽与北的夹角，因为COS(9G(-1,1),所以bA・BC=2x2cos6>=4cos^e(-4,4),又兵丽・BCqO,所以BA.BCe[l,4).故答案为：[1,4).【点睛】本题考查向量数量积以及向量表示，考查基本分析求解能力，属于中档题.解题方法模板四：几何意义法使用情景：题中向量具有典型几何意义.解题模板：第一步先确定向屋所表示的点的轨迹；第二步根据直线与曲线位置关系列式；第三步解得结果.解题模板应用：例4已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e夹角为冬，向量b满足3，-4e・b+3=0,则0-切的最小值是()A.73-1B.V3+1C.2D.2-V3【答案】A【解析】解题模板选择：本题中向量具有典型几何意义，故选取解题方法模板四：几何意义法进行解答.解题模板应用：解题模板：第一步先确定向量所表示点的轨迹；设a=(x,y),e=(1,0),b=(w):.ae=x=yjx2+y2cos彳/.y=土羽x因为b2-4e-b+3=Q,所以(m-2)2+n2=1第二步根据直线与曲线位置关系列式；因为|a-b|的的最小值为圆心(2,0)到直线)，=±屈的距离减去半径1第三步解得结果.所以匕-b|的最小值是JT-1，选A.练习：16.如图，在厶ABC中，ZACB=90°,BC=L2,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D设DA=a^DB=b，DC=c则介己的最大值是;2\a\+3\b\的最小值是.【答案】(1).90(2).12廊【分析】由讹」,可得当点£＞在线段4C的延长线上时，D&D4共线同向,4不6取得最大值；在线段AC±取一点M,使得3=4,证明°£^皿化人(加，则可得2|引+3|引=3白引+|5|)=3(|DV/|+|引)23|3M'|=I2屁，当D,M,皿|333三点共线时取【解析】设P为AC中点，为佔=忙+订-忙-讦=|2丽—|犹『W4(|PC|+6)'-9‘=4$+6)2-y=90,当点D在线段AC的延长线上取“=”；-44所以a•c的最大值是90在线段AC±取一点M,使得|CA/|=4,又CD=6,CA=9,：.岂=岂,而ZDCM=ZACD,..^DCM^ACD,则0|3TT2T又因为2|引+3|纠=3(§0|+|纠)=3(|DM|+|/；|)n3|/M/|=3jI?市=12価，当》，M,B三点共线时取所以2\a\+3\b\的最小值是12J币故答案为：90,12你【点睛】本题考查平面向量数量积的运算与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，属于难题.已知平面向量5夹角为30。，若\a\=2f则訥+卩-片的最小值为.【答案】羽【解析】【分析】首先设a=ok，b=OBr则a-b=BA,结合向量Q,b夹角为30。，利用对称关系，求得其最小值，也可以建系，利用向量的坐标去求解.【解析】解析1：（对称）

设E=b=OB^则a-b=BA^过3作丄04于点H.由于向量厅，口夹角为30。，则BH=»OB,故-b+d-b\=\BH\+\AB\=|B//|+\A'B\所以最小值为Af到OA的距离为7?,即扌円+”-习的最小值为妇.故答案为：JL故答案为：JL解法厶（建系）设5=（2,0）,则斥二,不妨设加＞0,1.>/3+—//?"=——1.>/3+—//?"=——m+33令/（X）二半+J非一4x+4J—/fj2-4//j+4V3°—x-2,令广a,令广a）=o,解得x=i.扌亍一4x+4即当X=1时，/（兀）皿=的・所以护1+p-冲的最小值为Q故答案为：V3.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量模的和的最小值的

求解，在解题的过程中，可以利用图形，从对称角度去分析，也可以建系，将其坐标化求解，属于中档题目.在厶ABC中，AB=2冬,0为三角形的外接圆的圆心，若AO=xAB+yAC(x,yeR),且x+2y=l,则△43C的而积的最大值为.【答案】6【解析】【分析】首先取AC的中点D,则Ad=xAB+2yAD,根据平而向量基本定理确定点BQ.D三点共线，在结合条件和平面几何关系，确定丄AC,再表示aABC