重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总（原卷版）

重难点专题12导数解答题之指对函数五大题型汇总TOC\o"13"\h\z\u题型1指数找基友 1题型2对数单身狗 2题型3指对互化 4题型4指对分离与不分离 6题型5凹凸翻转 7在指数加减x整式或者对数乘除x整式或者在指数和对数同时出现的情形下，我们处理时往往本着对数单身狗，指数找基友的思想方法，本质就是通过这样的转换可以让求导变少，避开长篇分类讨论题型1指数找基友指数找基友：在处理不等式和零点问题时，如果指数部分+x整式有可能连续求导，甚至要用到隐零点，比较复杂，此时，我们只需把所有x的式子和ex变换到一起，一般可以同除整式，或者同除ex部分，构造一个新函数，例如exax>0我们可以化成ex>ax,进一步化成a=ex/x，构造函数f（x）=ex/x;再例如当x>0时求证：(2x)ex≤x+2，我们可以化作ex(2x)/(x+2)≤1,然后构造函数f(x)=ex(2x)/(2+x),证明其≤1即可，通过观察，不难发现，ex和所有含有x的式子变换到一起了，我们形象地称之为，指数找基友【例题1】（2022秋·山东滨州·高三校联考期中）已知f(x)=asinx(a∈R)，（1）求g(x)在x=0处的切线方程；（2）若a=1，证明G(x)=f(x)+lnx在（3）设F(x)=f(x)⋅g(x)a(a≠0)对任意x∈【变式11】1.（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数f(x)=ax（1）当a=12时，证明：f(x)在（2）当x∈[0,π2]时，f(x)≤a【变式11】2.（2021·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）已知函数fx（1）证明：函数fx（2）若对∀x∈0,π2【变式11】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=lnx+kex，曲线y=f(x)在点1,f1的切线与x(1)求k的值及当x<0时，函数f(x)的单调区间；(2)设gx=x2+x【变式11】4.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数fx=aex+bcosx+（1）求实数a,b的值；（2）求函数gx（3）若对任意的x∈R，不等式xfx≥32题型2对数单身狗对数单身狗：如果对数式乘以或者除以一个关于x的整式，把整式提出，然后分别对局部分析即可，例如y=(2+x)ln(x+1)2x,如果要证明x>0时y>0,我们便可把2+x提出来，使之变成y=(2+x)(ln(x+1)2x2+x,分别分析2+x和ln(x+1)【例题2】（2022秋·宁夏银川·高三校考开学考试）已知函数fx（1）讨论fx（2）对任意x>0，求证：f【变式21】1.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数fx（1）当a=2时，求函数fx（2）当x>1时，fx【变式21】2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx（1）当m=1时，求fx（2）讨论关于x的方程fx【变式21】3.（2022·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考模拟预测）已知函数f(x)=ln（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a∈N*，若关于x的不等式f(x)≤-1在【变式21】4.（2021秋·浙江杭州·高三校联考期中）已知fx=lnxx，直线l为曲线y=fx在t,ft处的切线，直线l(1)求t的取值范围；(2)（i）证明：lnx≤1+（ii）证明：s>11题型3指对互化指对互化与同构：所谓指对互化，如下：x=elnx指对互化是指对同构的基础，2.常见类型：=1\*GB3①乘积，如aea<blnb,构造方法如下：构造方法构造的函数与左侧一致：af与右侧一致：ef对数化：a+lna<lnb+f=2\*GB3②商，如eaa<b构造方法构造的函数与左侧一致：ef与右侧一致：eaf对数化：a-lna<lnb-f=3\*GB3③和差，如ea±a<b构造方法构造的函数与左侧一致：ef与右侧一致：eaf【例题3】（2022秋·黑龙江·高三开学考试）已知函数fx（1）若是函数fx的一个极值点，求的值；（2）若fx≥0在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：201920202020<【变式31】1.（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙岗区龙城高级中学校考阶段练习）已知函数f(x)=ln(1+x)-x1+ax，其中a∈(0，（1）讨论函数f(x)在区间[0，1]上的单调性；（2）求证：(2021【变式31】2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ln(1)若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若f(x)⩾0在[0,+∞)(3)证明：(2016【变式31】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ln(1+x)-(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求(3)证明：(2014【变式31】4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=eg(x)，(1)若函数g(x)是(1,+∞)上的增函数，求(2)若对任意的x>0，都有f(x)<x+1，求满足条件的最大整数k的值．题型4指对分离与不分离既含有指数函数同时又含有对数函数题目，也就是所谓的"指对混合型”。我们一般通过适当变形，一分为二，指对分离，以其转化为两个可掌控的特殊函数进处理。适当变形，化归转化，可以掌控，是解决问题的关键。【例题4】（2022春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数f(x)=（1）讨论函数g(x)=f(ax)-x-a的单调性；（2）证明：f(x)+ln【变式41】1.（2021秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知fx（1）a=1时，求fx（2）①若对于任意的x∈0,+∞，不等式fx≥x-122【变式41】2.（2022年高三压轴解）已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点(1,(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=(x2+x)f'(x)，其中f'(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x>0【变式41】3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=a2x2(1)若a=1，其函数g(x)在[1,3]的值域；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，g(x)≥f【变式41】4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=(1)令g(x)=f(x)-ax+12(x2-a(2)当x>0时．证明：f(x)-题型5凹凸翻转证明不等式问题中有一类不等式形式复杂，由即首先知道两个函数(其中一个常常是对数函数与多项式函数的组合，另一个则是指数函数与多项式函数的组合)组合而成，我们往往指对分离，然后研究函数的图像，两个函数图像凹凸性刚好相反，称凹凸反转，这个名词非常形象的阐述了这类题目的解题思想。问题1：若F（x）>0

对x∈D

恒成立（其中F（x）=f(x)g(x)

）

情况①：转化为

f(x)>g(x)

，通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min>g(x)

max

，则问题得证。情况②：

转化为f(x)>g(x)

，通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min=f(x1)>g(x)

max=

g(x2)

，则问题得证。问题2：若F（x）≥0

对x∈D

恒成立（其中F（x）=f(x)g(x)

）转化为

f(x)≥g(x)

，通过分别求出两个函数的最值，若f(x)min≥g(x)

max

，且f(x)min=f(x0)=g(x)

max

=g(x0)则问题得证。凹凸反转的局限性：解法局限性一:不涉及“单调构造”

通过下文介绍的方法步骤,一定可以排除整体单调的函数组合。但是单调函数的组合有时也可以通过“最大值小于最小值”的方式说明问题，而且单调函数的组合，如果真构造成功了(如下图)，严格来说也属于“凹凸反转”，解法局限性二:构造后可能出现h（x）min<g(x)max如下图，导致问题得不到解决，【例题5】（2021秋·河南南阳·高三期中）已知函数f(x)=lnx，(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：当x>0时，ex【变式51】1.（2019·天津红桥·统考一模）已知函数fx（1）求k的值；（2）讨论关于x的方程如lnx【变式51】2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=xex-(1)当x≥1时，判断函数fx(2)证明：当x>0时，不等式fx【变式51】3.（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）设函数fx=ln(1)判断函数y=fx(2)记hx=gx(3)若fx<gx在1,+【变式51】4.（2022春·高三课时练习）已知函数f(x)=e(1)当a=12时，求(2)当a⩽1时，证明：f(x)>0.1.（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）已知函数f(x)=ex-ax，其中e(1)若对函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a的值；(2)若对任意x∈[0,π2]，不等式f(x)≥2.（2021·广东湛江·统考二模）已知函数fx=ex+a（1）讨论f'x在区间（2）若x∈-π2,0时，3.（2020·海南·校联考一模）设函数fx=e（1）当x∈0,π3（2）当x∈0,+∞时，不等式gx≥f'xe