江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列培优课数列与不等式分层作业苏教版选择性必修第一册

培优课数列与不等式分层作业A层基础达标练1.已知数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若对任意的成立，则整数的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.23.已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为()A. B.4 C.3 D.24.设为等比数列的前项和，已知，，若存在，使得成立，则的最小值为.5.设是数列的前项和，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为.6.[2022新高考Ⅰ]记为数列的前项和，已知,是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）证明：.B层能力提升练7.已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为()A. B.1 C. D.9.已知数列满足,，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为.10.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若使得成立，则实数的取值范围是.11.已知数列的前项和，设数列满足（为非零常数），存在整数，使得对任意的都有，则.12.在下列条件：①数列{}的任意相邻两项均不相等，且数列{}为常数列，，，中，任选一个补充在横线上，并回答下面问题.已知数列{}的前项和为，，.（1）求数列{}的通项公式和前项和；（2）设，数列{}的前项和记为，证明:.13.已知正项数列{}的前项和为，且满足.（1）求数列{}的通项公式；（2）设，证明：.C层拓展探究练14.已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增数列，则首项的取值范围是，当时，记，若，则整数.15.对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数，则叫作类等差数列，叫作类等差数列的首项，叫作类等差数列的类公差.（1）若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）.（2）若数列中，，.①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.②记数列的前项和为，证明：.培优课⑯数列与不等式分层作业A层基础达标练1.B2.B3.D4.95.6.（1）解因为，所以,所以.又因为是公差为的等差数列，所以,所以,所以当时，，所以,整理，得,即,所以，显然对于也成立，所以的通项公式为.（2）证明因为,所以.B层能力提升练7.A8.C9.10[解析]因为数列满足,，所以，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列，易得.令，而，即为减函数，所以，即,而为正整数，所以.10.[解析],,，，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以.依题意，使得成立，即，.设,,，当时，，所以，所以的取值范围是.11.[解析]因为，所以，解得.当时，，化为，变形为，所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以，所以.而（为非零常数），所以.因为存在整数，使得对任意的都有，所以，化为，当时，；当时，，所以.因为为非零整数，所以.12.（1）解若选①，因为,数列为常数列，所以,解得或.又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为2，，2，，2，，，所以,即，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以,即，所以若选②，因为,,,两式相减可得,即，以下过程与条件①相同.若选③，由,可得.又,当时，,所以.因为,所以也满足上式，所以有，即，以下过程与条件①相同.（2）证明由（1）知，,,所以,所以.13.（1）解由,得，结合正项数列得，所以（2）证明由（1）知，当时，，所以C层拓展探究练14.（0,2）;[解析]在正项数列中，为严格增数列，则，则，解得.又，则，则.由，可得.由可得，则，则.又当时，，则-…+-…+.由可得，，.又，则解得，则整数.15.（1）解.（2）①数列是类等差数列.证明：因为，所以，即.又，所以，则是递减