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文档简介

第3章

矩

阵主要内容矩阵的概念矩阵的运算逆矩阵分块矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的秩线性方程组的解§3.6矩阵的秩本节主要内容矩阵秩的概念初等变换法求矩阵的秩矩矩阵秩的性质3矩阵的秩的性质若为矩阵，则

若，则

若可逆，则

特别地，当b为列向量时，有即分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.4矩阵的秩的性质

若则

（证明见下章）5例1设为阶矩阵，证明证因为由性质有而所以矩阵的秩的性质6例2设为矩阵，为矩阵，证明证根据性质有而为阶矩阵，所以7证先证明：若经过一次初等行变换变为，则设，且的某个阶子式下面分3种情况证明，在中总能找到与相对应的阶子式，且由于因此从而

若，则89（2）当时，在中总能找到与相对应的阶子式，且由于因此从而（3）当时，由于对于变换时结论成立，因此只需考虑这一特殊情形.1)

的阶非零子式不包含的第1行，这时也是的阶非零子式，故2)

的阶非零子式包含的第1行，这时把中与对应的阶子式记作10若，则；若，则也是

的阶子式，由，知与不同时为0，总之，中存在阶非零子式或，故以上证明了若经过一次初等行变换变为，则11由于亦可经过一次初等行变换变为，故也有因此

经过一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.对于初等列变换的情形，

设经初等列变换变为，则经初等行变换变为，由以上证明知又因此总之，若经有限次初等变换变为，则Back12证因为的最高阶非零子式总是的非零子式，所以同理有两式和起来即为下证另一个不等号，设则和的列阶梯形中分别含有个和个非零列，设为用初等列变换分别把和化为列阶梯形和，13从而由于

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