7.6 线性变换的特征值与特征向量_第1页
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文档简介

第7章

线性空间与线性变换主要内容：线性空间的定义与性质线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式子空间的定义、判定，子空间的运算线性变换的定义及运算线性变换的矩阵线性变换的特征值与特征向量§7.6线性变换的特征值与特征向量本节主要内容：

线性变换的特征值、特征向量的定义、

求法，以及线性变换的对角化为题

定义1设是数域上线性空间中的线

性变换,如果存在数和中的非零向量,

使得则称，为线性变换的特征值,称为的属于特征值的特征向量．特征值与特征向量的性质：（1）设是线性变换属于特征值的特征向量，则对任一非零数也是属于特征值的特征向量;，属于特征值（2）设是线性变换的特征向量,则是属于特征值的特征向量;（3）属于特征值的特征向量的非零线性组合也是属于特征值的特征向量,且是的一个子空间．称它为的对应特征值的特

征子空间．定理1设是维线性空间上的线性变换,是的一组基且，则（1）是线性变换的特征值的充分必要条件为是阶矩阵的特征值;（2）是线性变换的特征向量的充分必要条件是在基下的坐标向量是的特征向量．在例1

设线性变换的一组基阵为下的矩求，的特征值和对应的线性无关的特征向量.解

因为矩阵的特征多项式为，所以的全部特征值为，.求所对应的线性无关的特征向量.解齐次线性方程组,得它的基础解系为.，所以的属于特征值的线性无关的特征向量是,.求所对应的线性无关的特征向量.解齐次线性方程组,得它的基础解系为.

所以的属于特征值特征向量是的线性无关的.定理2设是线性空间的一个线性变换,则

存在的一组基,使得（1）充分必要条件是可对角化的有个线性无关的特征向量;（2）充分必要条件是的每个重特征值，对应的线性无关的特征向量的个数恰是个;（3）充分条件是有个不同的特征值．例1中线性变换有3个线性

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