3.7.2 线性方程组求解_第1页
3.7.2 线性方程组求解_第2页
3.7.2 线性方程组求解_第3页
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文档简介

第3章

矩

阵主要内容矩阵的概念矩阵的运算逆矩阵分块矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的秩线性方程组的解§3.7线性方程组的解本节主要内容方程组的同解变换与增广矩阵的关系线性方程组的解的判定线性方程组的解法例1求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无限多解．三、线性方程组的解法解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由变量，则令x3=c，则方程组的通解可表示为

例2求解非齐次线性方程组解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解．三、线性方程组的解法例3求解齐次线性方程组三、线性方程组的解法解：解（续）：即得与原方程组同解的方程组令

做自由变量，则令则方程组的通解可表示为

矩阵方程AX=B

有解的充分必要条件是

R(A)=R(A,B)．定理1证明：设A

是m×n

矩阵，B

是m×s

矩阵，X

是n×s矩阵.把X

和B

按列分块，记作X=(x1,x2,…,xs

)，B=(b1,b2,…,bs

)则矩阵方程AX=B

有解线性方程组Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)

设R(A)=r，A的行最简形矩阵为，则有r

个非零行，且的后m－r

行全是零．再设从而

矩阵方程AX=B

有解线性方程组Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)的后m－r

行全是零的后m－r

行全是零

R(A)=R(A,B)．

定理2设AB=C

，则R(C)≤min{R(A),R(B)}．证明：因为AB=C

，所以矩阵方程AX=C

有解

X=B，于是R(A)=R(A,C)．R(C)≤R(A,C)，故R(C)≤R(A)．又(AB)T=CT，即BTAT=CT，所以矩阵方程BTX

=CT有解X=AT，于是R(C)=R(CT)≤R(BT,CT)=R(BT)=R(B)．综上所述，可知R(C)≤min{R(A),R(B)}．思考题讨论线性方程组当p,q取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下,求出通解.思考题解答(1)当p

2时,R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解.(2)当p=2时,有1)当q

1时,R(A)=3<R(B

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