2024届山西省大同市数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2024届山西省大同市数学九年级第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度，则这个斜坡坡角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40° B．50° C．80° D．100°3．如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结．若，，则的长为（）A．5 B． C． D．4．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A．1颗 B．2颗 C．3颗 D．4颗5．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（）A． B． C． D．6．《孙子算经》中有一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（）A． B． C． D．7．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B．C． D．8．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位9．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（）A． B． C． D．10．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A． B．2π C．3π D．12π二、填空题(每小题3分,共24分)11．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为a，b，则-a2-b2的值为_________。12．如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）13．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____．14．写出一个对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式______．15．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，正方形的面积为______，延长交轴于点，作正方形，……按这样的规律进行下去，正方形的面积为______.16．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____．17．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_________．18．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，1．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）计算：计算：6cos45°+（）﹣1+（﹣1.73）0+|5﹣3|+42017×（﹣0.25）2017；（2）先化简，再求值：÷，其中满足.20．（6分）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．21．（6分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一点E，连接AE，将△ADE绕点A旋转90°得△AFG，连接EG、DF．（1）画出图形；（2）若EG、DF交于BC边上同一点H，且△GFH是等腰三角形，试计算CE长．22．（8分）小明准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于，小明该怎么剪？（2）小刚对小明说：“这两个正方形的面积之和不可能等于.”小刚的说法对吗？请说明理由．23．（8分）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标；（4）若点M在y轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、E、M、F为顶点的平行四边形，若存在直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（8分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．求出函数解析式.25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点，取EF中点G，连接DG并延长交AB于点M，延长EF交AC于点N。（1）求证：∠FAB和∠B互余；（2）若N为AC的中点，DE=2BE，MB=3，求AM的长.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度．【题目详解】∵坡度为，

∴，

∵，且α为锐角，

∴．

故选：A．【题目点拨】本题考查了坡度的定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数值在直角三角形中的应用．2、B【解题分析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．故选B．3、C【分析】连接BE，设⊙O的半径为r，然后由垂径定理和勾股定理列方程求出半径r，最后由勾股定理依次求BE和EC的长即可．【题目详解】解：如图：连接BE设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°∴AC=BC=AB=4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2-42=（r-2）2，解得：r=5∴AE=2r=10，∵AE为⊙O的直径∴∠ABE=90°由勾股定理得：BE==6在Rt△ECB中，EC=．故答案为C．【题目点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据题意正确作出辅助线、构造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本题的关键．4、B【解题分析】试题解析：由题意得，解得：．故选B．5、D【解题分析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．【题目详解】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．故选：D．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．6、D【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．【题目详解】由题意可得，．故选：D．【题目点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．7、B【解题分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，直接判断即可.【题目详解】解：.不是中心对称图形；.是中心对称图形；.不是中心对称图形；.不是中心对称图形．故选：．【题目点拨】本题考查的知识点是中心对称图形的判定，这里需要注意与轴对称图形的区别，轴对称形是：一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形是:图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合.8、D【解题分析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；故选D.9、A【题目详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是．故选A．10、C【解题分析】试题分析：根据弧长公式：l==3π，故选C．考点：弧长的计算．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-12【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，得出两根之和与两根之积，再将待求式利用完全平方公式表示成关于两根之和与两根之积的式子，最后代入求值即可．【题目详解】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为，∴，∴=-4-8=-12.故答案为：-12.【题目点拨】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将待求式利用完全平方公式表示成关于两根之和与两根之积的式子是解题的关键．12、【分析】由解直角三角形，得，即可求出AB的值.【题目详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴，∴；∴大楼AB的高度为米.故答案为：.【题目点拨】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．13、y=3（x﹣1）2﹣2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案．【题目详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2，故答案为y=3（x-1）2-2.【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14、答案不唯一（如）【分析】抛物线的对称轴即为顶点横坐标的值，根据顶点式写出对称轴是直线的抛物线表达式，再化为一般式，再由经过原点即为常数项c为0，即可得到答案.【题目详解】解：∵对称轴是直线的抛物线可为：又∵抛物线经过原点，即C=0，∴对称轴是直线，且经过原点的抛物线的表达式可以为：，故本题答案为：（答案不唯一）．【题目点拨】本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．15、11.25【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，再求出AB，BA1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．【题目详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∵∠DOA=∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴，

∵AB=AD=，

∴BA1=，

∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，第2个正方形A1B1C1C的面积()2=11.25

同理第3个正方形的边长是=（）2，

第4个正方形的边长是（）3，，

第2019个正方形的边长是（）2018，面积是[（）2018]2=5×（）2018×2=故答案为：(1)11.25；(2)【题目点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．16、【解题分析】试题分析：科学计数法是指a×，且1≤＜11，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．考点：科学计数法17、【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．【题目详解】解：二次函数中，顶点坐标为：，设顶点坐标为（x，y），∴①，②，由①2+②，得，∴；故答案为：.【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题．18、【解题分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【题目详解】根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有1种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是，故答案为．【题目点拨】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

错因分析中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.

三、解答题(共66分)19、(1)8；(1)-1【解题分析】分析：（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方可以解答本题；（1）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后解方程，在其解中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．详解：（1）6cos45°+（）-1+（-1.73）0+|5-3|+41017×（-0.15）1017=6×+3+1+5-3+41017×（-）1017=3+3+1+5−3−1=8；（1）÷==∵∴a=0或a=1(舍去)当a=0时，原式=-1．点睛：本题考查分式的化简求值、实数的运算、殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20、证明见解析.【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【题目详解】试题分析：证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE21、（1）见解析；（2）CE=3-【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据旋转的性质得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=，再根据等腰三角形的性质得到GF=FH==DE，故可求出CE的长．【题目详解】解：（1）如图所示：（2）由旋转得，AD=AF=5，DE=GF∵∠BAD=90°∴△ADF为等腰直角三角形，∴A、B、F在同一直线上∴BF=2=BH∴△BHF为等腰直角三角形，∴HF==,∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°∴GF=FH==DE∵CD=AB=3∴CE=CD-DE=3-．【题目点拨】此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．22、（1）剪成40cm和80cm的两段；（2）小刚的说法正确，理由见解析．【分析】（1）设剪成一段长为xcm，则另一段长为(120－x)cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于500cm2建立方程求出其解即可；（2），如果方程有解就说明小刚的说法错误，否则正确．【题目详解】（1）设剪成一段长为xcm，则另一段长为(120－x)cm，依题意得，解得，，∴把一根120cm长的铁丝剪成40cm和80cm的两段，围成的正方形面积之和为500cm2；（2）小刚的说法正确，因为整理得，，∵△=－1600＜0，∴两个正方形的面积之和不可能等于400cm2，∴小刚的说法正确．【题目点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．23、（1）；（2）；（3）或；（4）存在，【分析】（1）求出点A坐标后再利用待定系数法求解；（2）先联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，然后过点P作y轴的平行线交抛物线于点N，如图，设点P的横坐标为m，则PN的长可与含m的代数式表示，而△PAE的面积==，于是求△PAE面积的最大值转化为求PN的最大值，再利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出AE的长，再设出P点的坐标，然后分三种情况利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，解方程即可；（4）分两种情况讨论：若AE为对角线，则AM∥EF，由于过点E与y轴平行的直线与抛物线再无交点，故此种情况不存在；若AE为边，根据平行四边形的性质可设M（0，n），则F（6，n+3）或（﹣6，n－3），然后代入抛物线的解析式求解即可．【题目详解】解：（1）∵直线与y轴交于A，∴A点的坐标为（0，2），又∵B点坐标为（1，0），∴解得：∴；（2）根据题意得：，解得：或，∴A（0，2），E（6，5），过点P作y轴的平行线交抛物线于点N，如图，设P（m，）则N（m，）则PN=（）－（）=（0<m<6），=+==，∴==，∴当m=3时，△PAE面积有最大值；（3）∵A（0，2），E（6，5），∴AE＝3，设Q（x，0），则AQ2=x2+4，EQ2＝(x﹣6)2+25，①若Q为直角顶点，则AQ2+EQ2＝AE2，即x2+4+(x﹣6)2+25＝45，此时方程无解，故此时不存在x的值；②若点A为直角顶点，则AQ2+AE2＝EQ2，即x2+4+45＝(x﹣6)2+25，解得：x＝1，即Q（1，0）；③若E为直角顶点，则AQ2＝AE2+EQ2，即x2+4＝45+(x﹣6)2+25，解得：x＝，即Q（，0）；∴Q（1，0）或（，0）；（4）若AE为对角线，则AM∥EF，由于过点E与y轴平行的直线与抛物线再无交点，故此时不存在符合题意的点M；若AE为边，设M（0，n），则F（6，n+3）或（﹣6，n－3），当F（6，n+3）时，此时点E、F重合，不合题意；当F（﹣6，n－3）时，n－3=，解得：n=38，此时点M坐标为（0，38）；综上，存在点M，使以A、E、M、F为顶点的平行四边形，且点M的坐标是（0，38）．【题目点拨】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、二次函数的图象与性质、两函数的交点、一元二次方程的解法、勾股定理以及平行四边形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合以及分类的思想是解题的关键．24、（1）m＜；（2）y=【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质得出不等式解之即可；（2）本题根据平行四边形的性质得出点D的坐标，