湖南省邵阳市城区2024届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

湖南省邵阳市城区2024届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，抛物线与轴交于点,与轴的负半轴交于点,点是对称轴上的一个动点．连接,当最大时，点的坐标是（）A． B． C． D．2．下列图案中，是中心对称图形的是()A． B．

C． D．3．已知如图，直线，相交于点，且，添加一个条件后，仍不能判定的是（）．A． B． C． D．4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数5．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为()．A．3 B．4 C．5 D．66．如图，点A，B，C，D都在上，OA⊥BC，∠AOB=40°，则∠CDA的度数为()A．40° B．30° C．20° D．15°7．若关于的方程有两个相等的根，则的值为（）A．10 B．10或14 C．-10或14 D．10或-148．如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为（）A．38° B．48° C．58° D．68°9．如图，在中，，，于点．则与的周长之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:510．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率（代表入射角，代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验；通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块，图③是实验的示意图，点A,C,B在同一直线上，测得，则光线从空射入水中的折射率n等于________.12．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____．13．已知正方形ABCD的边长为，分别以B、D为圆心，以正方形的边长为半径在正方形内画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为_____．（结果保留π）14．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_____．15．已知弧长等于3，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是____________.16．如图将矩形绕点顺时针旋转得矩形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．17．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为___度．18．两个函数和（abc≠0）的图象如图所示，请直接写出关于x的不等式的解集_______________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知一次函数分别交x、y轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求b、c的值及点C的坐标；（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，过P作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段AB于点E．设运动时间为t（t＞0）秒．①当t为何值时，线段DE长度最大，最大值是多少？（如图1）②过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结BD，若△BOC与△BDF相似，求t的值．（如图2）20．（6分）二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+_____．21．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2和x轴交于A，B（点A在点B右边）两点，和y轴交于点C，P为抛物线上的动点．（1）求出A，C的坐标；（2）求动点P到原点O的距离的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当点P在x轴下方的抛物线上运动时，过P的直线交x轴于E，若△POE和△POC全等，求此时点P的坐标．22．（8分）不透明的袋子中装有1个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、1．(1)随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；(2)随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．23．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．（1）若米，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；（2）若米，求矩形菜园面积的最大值．24．（8分）四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN．①依题意补全图1；②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）25．（10分）如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．26．（10分）如图，△ABC的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A（3，3），B（2，1），C（5，1），将△ABC绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，请你在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′的顶点坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，A(0,-3),B(-1,0),抛物线的对称轴为x=1,根据三角形三边的关系得≤AB,当ABM三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时，最大.求出点M的坐标即可.【题目详解】解:根据三角形三边的关系得：≤AB,当ABM三点共线时取等号，当三点共线时，最大,则直线与对称轴的交点即为点．由可知，,对称轴设直线为．故直线解析式为当时，.故选：．【题目点拨】本题考查了三角形三边关系的应用，及二次函数的性质应用.找到三点共线时最大是关键，2、D【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行分析判断即可.【题目详解】A、不是中心对称图形，故不符合题意；B、不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是中心对称图形，故不符合题意；D、是中心对称图形，故符合题意，故选D.【题目点拨】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键.3、C【分析】根据全等三角形判定，添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到.【题目详解】添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到，添加属SSA，不能证.故选：C【题目点拨】考核知识点：全等三角形判定选择.熟记全等三角形的全部判定是关键.4、D【解题分析】根据图可知该事件的概率在0.5左右，在一一筛选选项即可解答.【题目详解】根据图可知该事件的概率在0.5左右,（1）A事件概率为，错误.(2)B事件的概率为，错误.(3)C事件概率为，错误.(4)D事件的概率为，正确.故选D.【题目点拨】本题考查概率，能够根据事件的条件得出该事件的概率是解答本题的关键.5、B【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．【题目详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．∴，即．当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，∴．则，代入，得，解得或1，因为，即，所以．故选B．【题目点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．6、C【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到，然后根据圆周角定理计算即可．【题目详解】解：∵OA⊥BC，∴，∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°．故选：C.【题目点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．7、D【分析】根据题意利用根的判别式，进行分析计算即可得出答案.【题目详解】解：∵关于的方程有两个相等的根，∴，即有，解得10或-14.故选：D.【题目点拨】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键．8、A【分析】根据三角形的外角性质求出，然后根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可.【题目详解】解：=故选A【题目点拨】本题考查了圆周角定理及其推论.9、A【题目详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°；Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选A10、B【题目详解】，移项得：，两边加一次项系数一半的平方得：，所以，故选B.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】过D作GH⊥AB于点H，利用勾股定理求出BD和CD，再分别求出入射角∠PDG和折射角∠CDH的正弦值，根据公式可得到折射率.【题目详解】如图，过D作GH⊥AB于点H，在Rt△BDF中，BF=12cm，DF=16cm∴BD=cm∵四边形BFDH为矩形，∴BH=DF=16cm，DH=BF=12cm又∵BC=7cm∴CH=BH-BC=9cm∴CD=cm∵入射角为∠PDG，sin∠PDG=sin∠BDH=折射角为∠CDH，sin∠CDH=∴折射率故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键是找出图中的入射角与折射角，并计算出正弦值.12、．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．【题目详解】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，∵PE⊥CP∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°∵△APE∽△DCP∴，即x（3﹣x）＝2y，∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣GXdjs4436236（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值为，∴AE的最大值＝，∵AK＝KC，EO＝OC，∴OK＝AE＝，∴OK的最大值为，由题意点O的运动路径的长为2OK＝，故答案为：．【题目点拨】考查了轨迹、矩形的性质、三角形的中位线定理和二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．13、【分析】先求出空白部分面积，进而得出阴影部分面积，再利用石子落在阴影部分的概率＝阴影部分面积÷正方形面积，进而得出答案．【题目详解】∵扇形ABC中空白面积=，∴正方形中空白面积=2×（2﹣）＝4﹣π，∴阴影部分面积=2﹣（4﹣π）＝π﹣2，∴随机向正方形ABCD内投掷一颗石子，石子落在阴影部分的概率=．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查扇形的面积公式和概率公式，通过割补法，求出阴影部分面积，是解题的关键.14、【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【题目详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝2，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝1，∴DQ＝，∴DQ的最小值是，故答案为．【题目点拨】本题主要考查线段最小值问题，关键是利用旋转、等边三角形的性质及勾股定理求解．15、90°【分析】把弧长公式l=进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案．【题目详解】解：∵l=，∴n===90°．

故答案为：90°．【题目点拨】本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键．16、【分析】连接BD，BF，根据S阴影=S△ABD+S扇形BDF+S△BEF-S矩形ABCD-S扇形BCE即可得出答案．【题目详解】如图，连接BD，BF，在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=BC=2，∴BD=，S矩形ABCD=AB×BC=3×2=6∵矩形BEFG是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到的∴BF=BD=，∠DBF=90°，∠CBE=90°，S矩形BEFG=S矩形ABCD=6则S阴影=S△ABD+S扇形BDF+S△BEF-S矩形ABCD-S扇形BCE=S矩形ABCD+S扇形BDF+S矩形BEFG-S矩形ABCD-S扇形BCE==故答案为：．【题目点拨】本题考查了与扇形有关的面积计算，熟练掌握扇形面积公式，将图形进行分割是解题的关键.17、15【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【题目详解】解：∵∠AOB=70°-40°=30°∴∠1=∠AOB=15°故答案为：15°．【题目点拨】本题考查圆周角定理．18、或；【分析】由题意可知关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，由于反比例函数的图象有两个分支，因此可以分开来考虑．【题目详解】解：关于x的不等式的解集实际上就是一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x的取值范围，观察图象的交点坐标可得：或.【题目点拨】本题考查一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及一次函数、反比例函数与一次不等式的关系，理解不等式与一次函数和反比例函数的关系式解决问题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）b=2，c=3，C点坐标为（-1，0）；（2）①；②【分析】（1）由一次函数求出点A、B坐标，代入抛物线解析式可求出b、c的值，令y=0可求出点C的坐标；（2）①由题意可知P(t,0),D(t,)、E（t,-t+3），然后表示出DE，利用二次函数的最值即可求出DE最大值；②分别用t表示出AP、EP、AE、DE、EF、BF，然后分类讨论相似的两种情况，或，列式求解即可.【题目详解】解：（1）在中令x=0,得y=3,令y=0,得x=3,∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y=0则0=﹣x2+2x+3，解得，∴C点坐标为（-1，0）；（2）①由题知P(t,0),D(t,)、E（t,-t+3）;∴DE=()-()∴当时，DE长度最大，最大值为；②∴A（3，0），B（0，3），∴OA=OB,∴∠BAO=45°，在Rt△PAE中，∠PAE=45°，；在Rt△DEF中，∠DEF=45°，；∴若△BDF∽△CBO相似，则，即：,解得：(舍去)；，若△BDF∽△BCO相似，则，即：,解得：(舍去)；，；综上，或时，△BOC与△BDF相似.【题目点拨】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、三角形相似、一次函数、解方程等知识点，难度较大．最后一问为探索题型，注意进行分类讨论．20、（﹣12）【分析】由于二次项系数为1，所以右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，化简，即可得出结论．【题目详解】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）+3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为：（﹣12）．【题目点拨】此题主要考查了二次函数的三种形式的互化，掌握配方法是解本题的关键．21、（1）A（﹣，0），点C的坐标为（0，﹣2）；（2）最小值为，点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；（3）P（﹣1，﹣1）或（1，1）．【分析】（1）令y＝0，解方程求出x的值，即可得到点A、B的坐标，令x＝0求出y的值，即可得到点C的坐标；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征设点P的坐标为（x，x2﹣2），利用勾股定理列式求出OP2，再根据二次函数的最值问题解答；（3）根据二次函数的增减性，点P在第三四象限时，OP≠1，从而判断出OC与OE是对应边，然后确定出点E与点A或点B重合，再根据全等三角形对应角相等可得∠POC＝∠POE，然后根据第三、四象限角平分线上的点到角的两边距离相等的坐标特征利用抛物线解析式求解即可．【题目详解】解：（1）令y＝0，则x2﹣2＝0，解得x＝±，∵点A在点B右边，∴A（，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2）；（2）∵P为抛物线y＝x2﹣2上的动点，∴设点P的坐标为（x，x2﹣2），则OP2＝x2+（x2﹣2）2＝x4﹣3x2+4＝（x2﹣）2+，∴当x2＝，即x＝±时，OP2最小，OP的值也最小，最小值为，此时，点P的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）；（3）∵OP2＝（x2﹣）2+，∴点P在第三四象限时，OP≠1，∵△POE和△POC全等，∴OC与OE是对应边，∴∠POC＝∠POE，∴点P在第三、四象限角平分线上，①点P在第三象限角平分线上时，y＝x，∴x2﹣2＝x，解得x1＝﹣1，x2＝2（舍去），此时，点P（﹣1，﹣1）；②点P在第四象限角平分线上时，y＝﹣x，∴x2﹣2＝﹣x，解得x1＝1，x2＝﹣2（舍去），此时，点P（1，1），综上所述，P（﹣1，﹣1）或（1，1）时△POE和△POC全等．【题目点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求解、二次函数的最值问题、全等三角形的性质、难点在于判断出（3）点P在第三、四象限角平分线上.22、(1)；(2)．【解题分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】(1)画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为1，所以“两次取的球标号相同”的概率==；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率==．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23、（1）的长为；（2）当时，矩形菜园面积的最大值为．【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100-2x）m，列方程求解即可；

（2）设AB=xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【题目详解】（1）设AB=，则BC，根据题意得，解得，，当时，，不合题意舍去；当时，，答：AD的长为；（2）设AD=，∴则时，的最大值为；答：当时，矩形菜园面积的最大值为．【题目点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．24、（1）①图形见解析②AP=BN，AP⊥BN（2）答案见解析.【分析】(1)①根据题意作出图形即可；②结论：AP=BN，AP⊥BN，只要证明△APO≌△BNO即可；(2)在RT△CMS中，求出SM，SC即可解决问题．【题目详解】解：(1)①补全图形如图1所示，②结论：AP=BN，AP⊥BN．理由：延长NB交AP于H，交OP于K．∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AO⊥BO，∴∠1+∠2=90°，∵四边形OPMN是正方形，∴OP=ON，∠PON=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△APO