江苏省南京市建邺区2024届数学九上期末调研试题含解析

江苏省南京市建邺区2024届数学九上期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（）A．4 B．4.5 C．5 D．62．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形3．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A． B． C． D．4．在中，，，，那么的值等于（）A． B． C． D．5．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛物线(n为常数)与扇形OAB的边界总有两个公共点则n的取值范围是()A．n>-4 B． C． D．6．如图,△ABC内接于圆O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于（）A．70° B．110° C．90° D．120°7．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A． B． C． D．8．已知如图，中，，点在边上，且，则的度数是（）．A． B． C． D．9．下列各式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．10．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形二、填空题(每小题3分,共24分)11．抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是______.12．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是______cm．13．已知二次函数y=(x-2)2+3，当x_______________时，y14．若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是___．15．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为_____．16．剪掉边长为2的正方形纸片4个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为____________.17．某车间生产的零件不合格的概率为．如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说，天会查出1个次品．18．在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球______个三、解答题(共66分)19．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．20．（6分）综合与探究:操作发现:如图1，在中，，以点为中心，把顺时针旋转，得到;再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接.则与的位置关系为平行；探究证明:如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式，以点为中心，把顺时针旋转，得到；再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接，①探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；②探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.21．（6分）先化简，再求代数式的值，其中22．（8分）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．（1）求线段的长；（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且．①求证：∽；②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．23．（8分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.例如：，，当点满是，时，则点是点，的融合点，（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点.①试确定与的关系式.②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.24．（8分）如图，∠MAN=90°，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．25．（10分）已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？26．（10分）二次函数上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…0123…y…300m…（1）直接写出此二次函数的对称轴；（2）求b的值；（3）直接写出表中的m值，m=；（4）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】首先根据3、4、6、7、x这组数据的平均数求得x值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【题目详解】由3、4、6、7、x的平均数是1，即得这组数据按照从小到大排列为3、4、1、6、7，则中位数为1．故选C【题目点拨】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．2、C【解题分析】试题分析：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C．考点：命题与定理．3、D【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【题目详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（，2），∴OH＝，MH＝2，∴OM＝＝3，∴cosα＝，故选：D．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、A【解题分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得.【题目详解】解：如图，.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.5、D【分析】根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的n值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的n的值，即为一个交点时的最小值，然后写出n的取值范围即可．【题目详解】解：由图可知，∠AOB＝45°，

∴直线OA的解析式为y＝x，

联立得：，，得时，抛物线与OA有一个交点，

此交点的横坐标为，

∵点B的坐标为（2，0），

∴OA＝2，∴点A的横坐标与纵坐标均为：，

∴点A的坐标为（），

∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，，解得n=-4，

∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数n的取值范围是，故选：D．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．6、B【解题分析】解：由题意得，∠A=∠D=50°，∠DCB=90°,∠DBC=40°,∠ABC=60°,ABD=20°,∠AEB=180°-∠ABD-∠D=110°,故选B．7、C【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答．【题目详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∵AB=BC=3，BP=1，∴PC=2，∴，∴CD=，故选C．【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8、B【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可列出方程求解.【题目详解】设∠A=x．

∵AD=BD，

∴∠ABD=∠A=x；

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠BCD=2x，

∴∠DBC=x；

∵x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠A=36°故选：B【题目点拨】考核知识点：等腰三角形性质.熟练运用等腰三角形基本性质是关键.9、A【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.【题目详解】A.是最简二次根式；B.∵=，∴不是最简二次根式；C.∵=，∴不是最简二次根式；D.∵，∴不是最简二次根式；故选A.【题目点拨】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.10、A【解题分析】试题解析：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、（2，3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【题目详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．

故答案为（2，3）【题目点拨】考查将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．12、1；【解题分析】解：设圆的半径为x，由题意得：=5π，解得：x=1，故答案为1．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．13、＜2（或x≤2）．【解题分析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.考点：二次函数的性质14、【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【题目详解】解：∵方程x2−2x＋m＝0有两个不相同的实数根，∴△＝（−2）2−4m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【题目点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．15、【解题分析】解：∵弦CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD==．故答案为．16、【分析】设腰长为x，则正八边形边长2-2x，根据勾股定理列方程，解方程即可求出正八边形的边．【题目详解】割掉的四个直角三角形都是等腰直角三角形，设腰长为x，则正八边形边长2-2x,，（舍），，.故答案为：.【题目点拨】本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．17、1．【解题分析】试题分析：根据题意首先得出抽取10个零件需要1天，进而得出答案．解：∵某车间生产的零件不合格的概率为，每天从他们生产的零件中任取10个做试验，∴抽取10个零件需要1天，则1天会查出1个次品．故答案为1．考点：概率的意义．18、1【解题分析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【题目详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是，口袋中有12个红球，设有x个白球，则，解得：，答：袋中大约有白球1个．故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（1）（3π﹣）cm1【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；（1）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．【题目详解】（1）连接OD，如图1所示：∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（1）过O作OF⊥BD于F，如图1所示：∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，∴∠BOD＝110°，在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，∴OF＝OD＝cm，∴DF＝＝cm，∴BD＝1DF＝3cm，∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm1，S扇形BOD＝＝3πcm1，∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm1．【题目点拨】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出OF和DF是解决问题（1）的关键．20、①,证明详见解析；②，证明详见解析.【分析】（1）根据旋转角的定义即可得到，即可证得与的位置关系.（2）过点作，交于点，证明四边形为平行四边形即可解决问题.【题目详解】①.证明:由旋转的性质，知.又，.②.证明:过点作，交于点..又由旋转的性质知，...又四边形为平行四边形..【题目点拨】本题考查旋转变换，掌握旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解题的关键．21、，【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x的值代入原式求解即可．【题目详解】原式当时原式【题目点拨】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．22、（1）2；（2）①见解析；②存在．由①得△DMN∽△DGM，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出AD=AF、DE=EF，进而设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求解即可得出答案；（2）①根据平行线的性质得出△DAE∽△CGE求得CG＝6，进而根据勾股定理求出DG=1，得出AD=DG，即可得出答案；②假设存在，由①可得当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形，分两种情况进行讨论：当MG＝DG=1时，结合勾股定理进行求解；当MG＝DM时，作MH⊥DG于H，证出△GHM∽△GBA，即可得出答案.【题目详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD=∠D＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝1．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝2，∴EC＝2．（2）①如图2中，∵AD∥CG，∴∠DAE=∠CGE，∠ADE=∠GCE∴△DAE∽△CGE∴＝，∴，∴CG＝6，∴在Rt△DCG中，，∴AD=DG∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMN＝∠DAM∴∠DMN＝∠DGM∵∠MDN=∠GDM∴△DMN∽△DGM②存在．由①得△DMN∽△DGM∴当△DGM是等腰三角形时△DMN是等腰三角形有两种情形：如图2﹣1中，当MG＝DG=1时，∵BG＝BC+CG＝16，∴在Rt△ABG中，，∴AM＝AG-MG=．如图2﹣2中，当MG＝DM时，作MH⊥DG于H．∴DH＝GH＝5，由①得∠DGM=∠DAG=∠AGB∵∠MHG=∠B∴△GHM∽△GBA∴，∴，∴，∴．综上所述，AM的长为或．【题目点拨】本题考查的是矩形综合，难度偏高，需要熟练掌握矩形的性质、勾股定理和相似三角形等相关性质.23、（1）点是点，的融合点；（2）①，②符合题意的点为，.【解题分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.（2）①由题中融合点的定义可得，.②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅱ）时，画出图形，由融合点的定义求得点坐标；（ⅲ）时，由题意知此种情况不存在.【题目详解】（1）解：，∴点是点，的融合点（2）解：①由融合点定义知，得．又∵，得∴，化简得．②要使为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当时，如图1所示，设，则点为．由点是点，的融合点，可得或，解得，∴点．（ii）当时，如图2所示，则点为．由点是点，的融合点，可得点．（iii）当时，该情况不存在．综上所述，符合题意的点为，【题目点拨】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新