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文档简介

第十章重积分

第三节三重积分的概念与计算问题的提出：设空间立体V

的密度函数为求立体V

的质量M为了求V

的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.首先把V

分成n

个小块V1,V2,...,Vn,Vi

的体积记为一、三重积分的概念f(x,y,z)，其次在每个小块

Vi

上任取一点则

Vi

的质量然后对每个小块

Vi

的质量求和：最后，取极限其中三重积分的定义方法1：“先一后二”法（也称为投影法）二、在直角坐标系下计算三重积分如图，则注意例1设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质量M.解即把一个三重积分化为三个定积分的积.当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容易安排例2计算三重积分其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解:作闭区域Ω,如图示.把Ω投影到xoy平面上，得到区域Dxy三角形闭区域OAB,直线OA,AB,OB的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0)在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域V

的立体的体积为解方法2：“先二后一”法（或称截面法）解原式注：由上面两个例题可知，当被积函数只是单变量三、在柱面坐标系下计算三重积分规定：

柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．如图，柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的三重积分计算也是化为三次积分进行计算.化为三次积分时，积分限的确定是根据在积分区域中的变化范围来确定的.例如积分区域在xOy平面上的投影区域为D（用极坐标表示），且可表示为解知交线为解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，例8设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底面在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧面为圆柱面x2+y2=1.求其质量m.解:设密度函数ρ(x,y,z)=μ,积分区域为截头圆柱体,我们采用柱面坐标来计算,Ω在xoy平面的投影D为圆x2+y2≤1.在极坐标下，x+y+z=3x2+y2=1333zxy二、利用球面坐标计

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