等式与不等式的性质(第一课时)高一数学课件(人教A版2019)

第二章

一元二次函数、方程和不等式章前导读本章知识结构图2.1等式性质与不等式性质第

一课时第二章

一元二次函数、方程和不等式一二三学习目标初步理解不等式的概念，会用不等式（组）表示实例中的不等关系理解不等式最基本的性质；会用作差法比较两实数的大小掌握一个重要不等式及证明新课导入

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多，少大，小长，短高，矮远，近快，慢涨，跌轻，重不超过，不少于数量关系相等关系不等关系等式不等式新知探究问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中不等关系吗？(1)某段路限速40km/h；

(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于％，蛋白质的含量p应不少于％；

新知探究问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中不等关系吗？(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

追问：你能写出其他的可能情况吗？ABCDE设C是直线AB外的任意一点，CD垂直AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则

CD<CE新知探究小结：用不等式表示实际问题中不等关系的方法从实际问题中抽象出不等关系用字母表示不等关系中的数用不等号连接这些字母建立不等式接着，我们就可以用不等式研究相应的问题了.新知探究问题2某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？设提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为

；销售总收入为

万元。于是，不等关系：“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为____________

_____追问：如何解这个不等式呢？不等关系：

销售的总收入不低于20万元问题3解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主要依据吗？解方程的主要依据：类比解不等式的主要依据：等式性质不等式性质比较两个式子的大小关系新知探究为此，我们需要先研究不等式的性质.新知探究问题4

在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？设实数a,b在数轴上对于的点分别为A,B.则①当点A在B的左边时，a<b；②当点A在B的右边时，a>b；

③当点A和点B重合时，a=ba＞ba<ba=bABBAA(B)问题5我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？新知探究

如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b.反之也成立.符号表示要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.结论：典例解析例1

比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.解：作差变形定号定论

0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.作差法比较大小的一般步骤对差变形的目的是什么？你认为一般些会用到哪一些方法？(1)作差；(2)变形；

(3)定号；(4)定论。目的：便于判定差的符号常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等如果差的符号不确定，该怎么办？当差的符号不确定时，一般需要分类讨论作结论的依据是什么？

根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论归纳小结新知探究：弦图中的不等关系问题6如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，颜色的明暗使得它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

新知探究：弦图中的不等关系ABCDEFGH若设直角三角形的两直角边分别为a,b(a≠b)，则(1)正方形ABCD的边长为________；

正方形ABCD的面积S=________；

四个直角三角形的面积和S'

=

;(2)

S与S'有什么样的不等关系，如何表示？(3)

S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？

S大于S'

ABCDE(FGH)当a=b时

当a=b时，S=S'，即

a,b>0新知探究：弦图中的不等关系问题7对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。证明：（比较法）

由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：

概念生成重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立.1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；（2）a与b的和是非负实数；（3）如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.仓库绿地-5m--5m--5m--5m-解：巩固练习教材P39巩固练习2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解：∵(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0∴

(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6).教材P403.已知a>b，证明：证明：课堂小结本节课你学会了哪些主要内容？1．不等关系是普遍存在