高二(理)数学《函数的极值》

函数的极值（1）函数极值的定义

函数y=f(x)在x=x0附近任何一点的函数值都小于点的函数值，则称为函数y=f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值。OxyabOxyab

函数y=f(x)在x=x0附近任何一点的函数值都小于点的函数值，则称为函数y=f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值。Oxyab

极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

函数y=f(x)在x=x0附近任何一点的函数值都小于点的函数值，则称为函数y=f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值。

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy46.5定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4-6、-1、176.5定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4-6、-1、1736.5定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4-6、-1、1736.5-3.5定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4-6、-1、172、1236.5-3.5定义理解一

观察函数的图像，回答：（1）的极大值点有___个，分别是_________________；（2）的极小值点有___个，分别是_________________。26.51217-1-3.5-6xy4-6、-1、172、1236.5-3.5（1）极大（小）值点不是最大（小）值点，并非只有一个极值点（2）不是点，是一个数。定义理解一如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoab如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoab如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点f’(b)=0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点f’(b)=0>0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点f’(b)=0>0<0如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点f’(b)=0>0<0极大点如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？定义理解二xyoaby-=f(x)xyoabf’(a)=0<0>0极小值点f’(b)=0>0<0极大点xyoaby=f(x)x<b=b>bf’(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减函数极值与导数的关系f(a)f(b)x<a=a>af’(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增xyoaby=f(x)x<b=b>bf’(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减函数极值与导数的关系f(a)f(b)x<a=a>af’(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增极值点x0两侧单调性相反，即导函数值异号。f´（x0）=0求函数的极值点。合作应用探究求函数的极值点。合作应用探究分析：

由总结可知，极值点是导数为零的点，故需解方程，再判断的符号。满足规律：“左正右负极大值”、“左负右正极小值”。解：解：由可得解：由可得++-00↗↗↘极大极小解：由可得++-00↗↗↘极大极小

从表中可以直观的发现：-2是函数的极大值点；3是函数的极小值点。解：由可得++-00↗↗↘极大极小将-2和3代入，即可算得极值。极值又是多少？如何计算？

从表中可以直观的发现：-2是函数的极大值点；3是函数的极小值点。可导函数求极值的步骤：1.求导数；2.解方程；3.对于方程的每一个解，分析在左右两侧的符号，确定极值点：在两侧若的符号

（1）“左正右负”，则为极大值点；

（2）“左负右正”，则为极小值点；

（3）相同，则不是极值点；若寻找可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?若寻找可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3若寻找可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.若寻找可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.在可导函数(整式类型函数都是可导函数)中：f

(x0)=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0

是函数f(x)的极值点f

(x0)=0注意：f/(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件。1．下列关于函数的极值的说法正确的是(

)

A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数课堂练习1．下列关于函数的极值的说法正确的是(

)

A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数课堂练习D2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C3．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(

)A．1个 B．2个

C．3个D．4个3．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(

)A．1个 B．2个

C．3个D．4个A4．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D由可得

从表中可以发现：是函数的极大值点；是函数的极小值点，极大、极小值分别为：

5.求函数的极值。解：由可得

从表中可以发现：是函数的极大值点；是函数的极小值点，极大、极小值分别为：

5.求函数的极值。