基于随机裂纹的结构失效分析

基于随机裂纹的结构失效分析

现在，结构系统的静强度、刚性和疲劳的可靠性分析通常是由[1.3]引起的。但是，对于许多工程结构，为了真正反映结构的实际情况，有必要将不同的失败模式混合在一起。首先，由于小的疲劳负荷，导致特定的疲劳损失，降低极限负荷和结构系统的刚性，并由于限制负荷导致结构破坏或僵硬。此外，结构可靠性分析中的某些操作之间存在相关性，因此必须考虑不同的情况和失败模型之间的相关性，以真正反映结构的实际情况。在这项工作中，我们首先分析了疲劳负荷下结构边界效应和剖面模型的减少，解释了疲劳负荷下结构阻力和剖面模型与疲劳负荷之间的随机裂纹之间的关系，并分析了组件剩余抗能力和截面模型的数字特征。然后，在静态负荷和疲劳负荷的影响下分析每个构件的失败形式，考虑每个无效模型之间的相关性对单元的可靠性的影响，并分析了结构系统在这两种负荷下的失败机。最后，在这两种负荷下，对结构系统的依赖分析完成。1初始裂纹a的确定构件中裂纹产生和发展的过程,实质上就是抗力衰减的过程.随着裂纹的扩展,一方面材料的极限应力下降;另一方面,由于裂纹“吞噬”部分截面,构件的截面模量也要下降.在文献中给出了构件的剩余抗力(或称剩余强度)与裂纹扩展的关系,一般可以表示为式中σ(a)为构件材料的极限应力,G(a)为构件的剩余截面模量,两者都是裂纹扩展特征尺寸a的函数.显然,对于完好构件,初始裂纹a=0,有σ(a)=σ0和G(a)=G0分别为构件设计时的材料极限应力和截面模量,相应R=R0为构件设计抗力.1.1材料剩余应力在线弹性断裂范围内,裂纹的扩展由应力强度因子控制.应力强度因子表示为式中Y(a)为形状参数,它考虑了裂纹几何形状等因素的影响.K对应Ⅰ~Ⅲ型裂纹分别为KⅠ~KⅢ.对Ⅰ型裂纹,σ为截面正应力,对Ⅱ和Ⅲ型裂纹,σ为剪应力.当应力强度因子K达到临界值KC(断裂韧性)时断裂就会发生,此时的应力即为材料(剩余)极限应力,可由(2)式求得1.2折减系数和断裂宽度截面模量与截面几何形状、裂纹形状和大小有关,有裂纹损伤的构件截面模量可以表示为式中ψ(a)为有裂纹损伤时的折减系数.对于常用的钢管构件,如果存在Ⅰ型裂纹,裂纹宽度为a,则截面剩余截面模量为式中r2,r1和δ分别为钢管内,外径及钢管壁厚,δ=r1-r2.折减系数ϕ(i)可用以下多项式进行计算:1.3疲劳载荷作用下裂纹扩展模型裂纹扩展的变异性主要是由载荷疲劳性引起的,裂纹扩展本身固有的随机性相对较小本文只考虑疲劳载荷作用下的裂纹扩展的随机性.基于大量的实验,人们提出了许多裂纹扩展速率公式,著名的Paris公式如下:式中C和m为与材料特性有关的参数,∆K为应力强度因子范围,可表示为式中S为应力范围.假定在疲劳载荷作用下,应力范围S的长期分布服从的Weibull分布,考虑到其变化范围为0≤S≤+∞,取位置参数为0,于是概率密度函数为式中ξ为形状参数,SL为一生一遇最大应力范围,NL为载荷谱的回复周期L期间内应力循环的总次数.应力范围S的n阶矩可由下式求得式中Γ为伽玛函数.将循环次数N变换为自然时间t,得式中fL为应力范围作用的平均频率.将(8)和(11)式代入(7)式,则得疲劳载荷作用下裂纹扩展速率方程:(12)式分离变量并积分,则得对于给定的形状系数Y(a),积分上式并解出a,一般可得到裂纹扩展过程的如下表达式:于是,对于已知的初始裂纹a0,在任意时刻t的裂纹扩展尺寸a(t)的数字特征可由应力范围S和材料参数C的数字特征和关系式g(S,t,a0,C)确定.一般情况下,a(t)的均值和均方差可由下式计算:式中µ表示随机变量S和C在均值点处取值,VS和VC为随机变量S和C的均方差.1.4抗力的和均方差构件剩余抗力与裂纹扩展的关系式可表示为(1)式的形式,由(1)式按泰勒展开可以求得剩余抗力的均值和均方差为式中裂纹扩展尺寸的均值和均方差由(15)和(16)式进行计算.假定剩余抗力R服从一定的分布例如正态分布或对数正态分布,则其概率密度函数可由均值和方差唯一确定.对于含I型裂纹的钢管构件,形状函数为式中c1和b为常数.将上式代入(13)式求得a(t)的表达式.用(15)和(16)式求得a(t)的均值和均方差如下:将上式代入(17)和(18)式便可求得抗力的均值和均方差,由于表达式比较冗长,这里略去.2结构系统的静态强度、疲劳和刚性分析2.1结构安全残余分析对于承受反复载荷作用的结构,由于结构抗力不断降低,应采用时变可靠性的方法进行分析.假定结构的抗力为R,不变载荷效应为SG,设计基准其内的疲劳载荷效应为SQ,结构的安全余量方程可表示为在进行结构系统静强度可靠性分析时,由(17)和(18)式求出构件剩余抗力的均值和均方差,然后再按一般静强度理论进行系统可靠性分析,其安全余量方程以(22)式的形式给出.2.2dt的设计寿命结构系统中某一构件的疲劳寿命可以表示为式中Ω为应力参数,B反映了计算模型的不确定性,0a为初始裂纹,af为允许裂纹.在进行疲劳可靠性分析时采用文献的方法.一般地,对于一个由n个失效单元组成的并联系统,其中失效单元按E1→E2→…→En的顺序依次破坏,其安全余量写成矩阵的形式为式中矩阵Ωa,Ωb和Ωc为应力参数矩阵,,T=[T1,T2,…,Tn]T,Td=[0,0,…,TD]T,DT为设计寿命,表示前i-1个失效单元破坏后第i个失效单元的安全余量,iT(i=1,2,…,n)表示为系统中第i失效单元在其他失效单元均未破坏情况下的疲劳寿命,由(23)式计算.2.3安全余量的确定由(4)式可知,在疲劳载荷作用下,构件的截面模量有所下降,那么结构系统的刚度就有所下降,由于裂纹的随机性,构件的截面模量也应具有一定的随机性,其均值和均方差可有(4)式求得,如下在进行结构系统刚度可靠性分析时,第i个节点的安全余量如下:式中δa和δi分别为节点i的允许位移(假定为常量)和计算位移.由于结构的随机性,δi很难用显式表达,在应用一次二阶矩方法求解可靠性指标时,需用到δi对设计变量求偏导数的形式,因此本文应用随机有限元方法求解.设基本随机变量x=(x1,x2,…,xi,…,xm)(m为基本变量数,任一xi可表示为静载、疲劳载荷、面积等随机变量),有限元方程为式中K为总体刚阵,P为载荷列阵,δ为位移列阵.上式对设计变量xi求导,有经整理,有这样∂δj/∂xi可以从∂δ/∂xi中取得,就可以应用改进的一次二阶矩方法求解可靠性指标了.3安全载荷作用下的可靠性指标结构在规定的使用寿命期内将承受可能出现的各种载荷作用,这里只考虑静载和疲劳载荷的作用.那么结构系统中的每一个单元同样承受这两种载荷的作用,每一个单元都将可能出现静载失效或疲劳失效,并且这两种失效形式是相关的.在可靠性分析过程中,首先对结构系统中的每一个单元进行静载和疲劳载荷作用下的可靠性分析,给出每一个单元的两个安全余量,并求出相应的可靠性指标,计算两者串联失效概率,即式中iP为某一单元静载失效和疲劳失效的串联失效概率,分别为该单元静载和疲劳失效时的可靠性指标.求得(31)式所对应的等效安全余量,即某一单元在这两种载荷作用下的等效安全余量.算得(31)式所对应的可靠性指标βi,那么该单元的失效概率和可靠性指标分别为iP和βi.为了便于分析结构系统在静载和疲劳载荷作用下,某一单元失效后对结构系统可靠性的影响,本文采用如下方法.即判断该单元的的大小.若较小,则认为该单元静强度失效;若较小,则认为该单元疲劳失效.然后,应用分枝限界方法或其他方法寻找主要失效路径,其计算过程见图1.在结构系统失效过程中由于疲劳载荷的作用,那么就要计算每个单元在何时失效,以便计算在此时间内疲劳载荷对其他元件的累积损伤.若单元疲劳失效,其失效时间的计算可参见文献;若单元静强度失效,那么由该单元的安全余量,即(22)式等于零,求得相应的剩余抗力,即得将(17)式代入上式,求得此时相应的裂纹长度,将其作为(23)式的积分上限,计算相应的当量寿命,则认为该元件在此时静强度失效.例如,单元1在1T时疲劳失效,然后单元2在2T时静强度失效,接着单元3在3T时疲劳失效.那么在1T到T3时间内单元3的累积损伤可分为两部分,一部分为1T到2T时间内的损伤,另一部分为2T到3T时间内的损伤,其中1T和3T可由结构系统疲劳可靠性分析方法求得,2T可由单元静强度安全余量等于零求得.这样就可以方便的求得单元疲劳失效到下一单元静载失效的时间,从而可以更好地分析单元疲劳失效和静载失效之间的相互影响,进而可以较准确地求得该失效路径的可靠性指标和失效模式间的相关系数.4失败模式的相关性和系统依赖的分析4.1安全余量的相关性对于给定的两个安全余量Z1和Z2,按泰勒展开并取其线性项,则其相关性可由下式计算式中xi和xj表示设计变量,ρxi,xj表示变量xi和xj之间的相关系数,xVi和xVj表示变量xi和xj的均方差,VZ1和ZV2表示安全余量1Z和Z2的均方差.由(34)式知,安全余量之间的相关性主要体现在变量之间的相关性上,结构系统静强度、疲劳和刚度失效时的安全余量分别由变量R,SG,SQ,Ti,δi表示.由前文分析可知,这5个变量可分别表示成如下形式式中函数1f′~f5′对各变量的导数以及这5个变量的均方差可利用文中公式及随机有限元方法求得,在此不再赘述.由(45)~(54)式求出各变量之间的相关系数后,便可通过(34)式计算失效模式之间的相关性有:(ⅰ)静载失效模式和疲劳失效模式之间的相关系数.由(34),(22)和(24)式有(ⅱ)静载失效模式和刚度失效模式之间的相关系数.由(34),(22)和(27)式,有(ⅲ)疲劳失效模式和刚度失效模式之间的相关系数.由(34),(24)和(27)式,有当然,静载本身多个失效模式之间、疲劳载荷本身多个失效模式之间、刚度本身多个失效模式之间,也可以按(34)式计算,这里不再敷述.4.2节点刚度安全余量(ⅰ)根据疲劳载荷作用的时间求得各构件的剩余抗力和剩余截面模量;(ⅱ)求得系统在静载和疲劳载荷作用下的结构系统主要失效路径;(ⅲ)列出控制节点所对应的刚度安全余量(ⅳ)用(55)~(57)式算得各失效模式之间的相关系数;最后应用PNET方法计算系统失效概率.PNET具体做法是:首先依据失效模式相关系数的大小求出代表失效模式,然后用下式计算系统失效概率,即式中G为失效模式数,Pfj为第j个代表失效模式的失效概率.该式是工程上计算大型结构系统可靠性的有效方法.5计算5.1结构系统可靠性分析如图2所示平面桁架结构,各单元均为钢管,P1为疲劳载荷,在设计寿命内一遇最大值为8.0×103kN,其最大值服从极值Ⅰ型分布,其均值和变异系数为1.5×103kN和0.2;P2为不变载荷,服从正态分布,其均值和变异系数为3.6×103kN和0.1.各截面抗力相同,相互独立且服从正态分布,各杆件屈服应力为200MPa,其变异系数为0.1.在计算过程中假定应力范围的长期分布为Weibull分布,且形状参数为1.参数C和B的中值和变异系数分别为4.76×10-4,1.0和0.73,0.2.其他参数为m=3.152,c1=0.49,b=-0.38,fL=0.158,KIC=965.2(MPa·mm)1/2,a0=0.5mm,af=24mm.钢管外径和内径分别为r1=224mm,r2=200mm,弹性模量为2.1×105MPa.各节点的水平和竖向允许位移为0.001m.计算该结构系统的可靠性,设计寿命分别取为TD=5a和TD=10a.解:应用本文所提出的方法求得结构系统主要失效路径如图3.为了说明计算过程取失效路径加以说明,如下.(ⅰ)首先对结构进行内力分析,求出各单元的,比较各单元的βi,发现β6最小,则认为单元6先失效,并且此时有,所以认为单元6静强度失效.在单元6失效后计算其余各单元静强度可靠性指标时,去掉6杆单元,加反向节点力,并计算单元6静强度失效时所对应的当量寿命6T′,以此当量寿命计算其余各单元的疲劳累积损伤,从而求得其余各单元的疲劳可靠性指标.(ⅱ)在单元6失效后,再重新计算其余各单元的和βi(6),算得在单元6失效后单元1首先失效,并且此时有,因此认为单元1失效形式为疲劳失效.在单元1疲劳失效后,计算其余各单元静强度和疲劳可靠性指标时,去掉1杆单元,不加反向节点力.此时由于单元1疲劳失效,那么在当量寿命6T′到单元1工作时间内,各单元又累积了一定的损伤.(ⅲ)重新计算其余各单元的和βi(6,1),比较各单元的βi(6,1),发现β2(6,1)最小,则认为单元2在单元6和1失效后失效,并且此时有,所以认为单元2疲劳失效此时结构变为了机构而失效,这样就形成了一个失效路径.(ⅳ)按上述的分析方法,同样可求出不同的失效路径,最后和刚度失效模式一起,进行相关性分析,采用PNET法,给出结构系统的可靠性指标.5.2结构可靠性分析如图4所示理想化三维空间结构,结构对称于其与xoz面重合的中面,图4中数字表示节点编号(括号内的数字表示下翼面节点编号).上下部分用126个CST元模拟,垂直腹板用70个SSP元模拟,在上下部分与腹板连接处用70个梁元模拟.假设梁元截面面积与板厚、屈服应力均为随机变量,服从正态分布.板厚均值为0.9cm,梁元截面为钢管形式,钢管外径和内径分别为r1=20mm,r2=36.04mm.在1~35号节点上沿y向上同时作用静载荷与疲劳载荷,其他方向上外载荷均为0,其中静载荷服从正态分布,均值为8.5kN,变异系数为0.2;疲劳载荷在设计寿命内一遇最大值为15.0kN,其最大值服从极值Ⅰ型分布,其均值和变异系数为0.5kN和0.2,总循环次数为1.0×108(即20a).在计算过程中假定应力范围的长期分布为Weibul分布,且形状参数为1.a0=0.5mm,af为管壁厚或板厚,其他变量同例1.1~35号节点的位移在y方向上的限值如表1,试对该结构进行可靠性分析.解:采用不同方法对该结构进行系统可靠性指标的计算,结果见表2.方法1为结构系统刚度可靠性指标;方法2为考虑强度衰减时,结构系统静强度可靠性指标;方法3为结构系统疲劳可靠性指标;方法4为将方法1~3算