导数在求极限中的应用

.z.引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。极限的思想和方法产生*些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L’Hospital法则，Taylor展式法及微分中值定理在求极限中的应用。旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数在其定义域中的一点处极限存在，则称在处可导，称此极限值为在处的导数，记为.显然，在处的导数还有如下的等价定义形式：.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限.解由于.所以，.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设，试证.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值写成与此式相似的形式）两式相减，可得因，，所以有，又因，故当，时右端极限为零，原极限获证.1.2L’Hospital法则本节主要总结了L’Hospital法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L’Hospital法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L’Hospital法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.L’Hospital法则L’Hospital法则作为Cauchy中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限.关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为未定型或未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有，，，，等类型.L’Hospital法则：定理若函数和满足:①；②在点的*空心邻域内可导，且；③(可为有限数或)；则.注：以上结论在，或是（包括和）时也是成立的.L’Hospital法则的应用L’Hospital法则能处理的基本未定型极限是型或型例1求（为正整数，）.（型）解连续使用L’Hospital法则次.从以上例中可看出L’Hospital法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶.下面再看两个L’Hospital法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求.分析：因为可导从而连续，所以此问题属于型，可用L’Hospital法则求解.解.例3求极限，其中，为闭区间上的连续函数.解因时，单调递减趋于，使用L’Hospital法则，则.（2）在使用L’Hospital法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设为可导函数，，求极限.解.（此题不能用L’Hospital法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的*个邻域中可导）当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L’Hospital法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限、、、、等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成型或型的极限，再使用L’Hospital法则.例5求极限.解.注：这是将型转化成了型，如果选择不当把它化成型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限.解将它改写成就化成了型，于是有.“、、”可以通过如下转化化成型或型：求极限.（型）解因为而所以.求极限.（型）解因为当时，所以.（4）利用L’Hospital法则求数列极限——Stolz公式Stolz公式可以说是数列的L’Hospital法则，它对求数列的极限很有用.定理1（型的Stolz公式）设严格递增（即有）且，若①（有限数），则；②为或，结论仍然成立.定理2（型的Stolz公式）设时，严格单调下降趋于零，若，则（其中为有限数，或）.求极限.解由于，所以.例10证明（为自然数）.证.下面说明Stolz公式必要时可以重复使用（其中），求.解因单调递增趋于，可应用Stolz公式（再次使用Stolz公式）.求极限.解先取对数，再取极限.令应用Stolz公式故,原式.（5）L’Hospital法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限.解.有个别题目在使用L’Hospital法则时会出现循环现象，此时不能用L’Hospital法则求解，如下面一例.例14求极限.解.第2章Taylor展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1（带Peano余项的Taylor公式）设在处有阶导数，则存在的一个邻域，对于该邻域中的任一点，成立其中余项满足定理2（带Lagrange余项的Taylor公式）设在上有阶连续导数，且在上有阶导数.设为一定点，则对于任意，成立其中余项满足，在和之间.注：函数在处的Taylor公式又称为函数的Maclaurin公式.几个常用函数的Maclaurin公式:（为了便于书写，我们写出带Peano余项的Taylor公式）①;②;③;④其中为任意实数，，并规定；⑤；⑥.1.用Taylor公式巧解未定型极限由于L’Hospital法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L’Hospital法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难.例1求极限.解这是个未定型极限问题，如果使用L’Hospital法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则.例2求极限.解这也是个未定型的极限问题，因，用代入，即有于是.2.用Taylor公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页）设（1）在内是阶连续可微函数，此处；（2）当时，有但是；（3）当时有①其中证明：.证我们要设法从①式中解出，为此我们将①式左边的及右边的在处展开.由条件（2）知使得于是①式变成从而因，利用的连续性，可得.注：此题若用L’Hospital法则做将不胜其烦.例4设，且，证明：.提示：从而有.证明另得到，再由，两边消去，即得到.3.用Taylor公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，试证：.证明要证明，即要证明：当时利用Taylor公式，即①记因有界，所以，使得,（对）故由①知②对，首先可取充分小，使得，然后将固定，因，所以，当时，从而由②式，即得.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理和Taylor中值定理的统称。它作为微分学的理论基础，有广泛的应用。这些内容需要在很好的掌握微分中值定理的基础上再对定理灵活应用，因此，不容易掌握，本节主要通过几个例子介绍用微分中值定理解决极限问题，可能不是很全面，但足以让大家对此问题有个大概的认识。定理1（Rolle定理）设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则至少存在一点，使得.定理2（Lagrange中值定理）设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且至少存在一点，使得.定理3（Cauchy中值定理）设函数和都在闭区间上连续，在开区间上可导，且对于任意，，则至少存在一点，使得.注：Taylor中值定理即带Lagrange余项的Taylor公式，在二中已做讲解，此处不再多做介绍.微分中值定理之间的关系：Rolle定理是微分中值定理的基石，而Lagrange中值定理是微分中值定理的核心.Lagrange中值定理添加条件，则收缩为特例Rolle定理.反之，如果Rolle定理中放弃条件，则推广为Lagrange中值定理；同样，若令，则Cauchy中值定理就收缩为Lagrange中值定理.而Cauchy中值定理可视为Lagrange中值定理在表述形式上的一种推广；若Taylor中值定理添加条件，则收缩为特例Lagrange中值定理.而Taylor中值定理可视为Lagrange中值定理在应用上的一种推广.例1求极限.分析：本题可以使用L’Hospital法则，但是求导数计算量很大，根据算式的结构，可以考虑作辅助函数，设，在上使用Cauchy中值定理可容易解之.解设，在上使用Cauchy中值定理，有，当时，故原式=.求极限其中为常数.解由Lagrange中值定理，有其中位于和之间，当时，所以.例3设在上连续，试证：.证明，其中（当时）（当时）故.本文介绍了导数在求极限中的基本应用，旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论，达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。同时也让大家认识到应用导数解决问题的灵活