公开课内心外心与圆

课题：三角形内心、外心和圆的关系

学习目标：1、掌握基本图形的常用辅助线作法，会运用相关知识解决问题2、会从已知内心、外心等条件找到问题解决思路。学习重点：运用三角形内心、外心的性质进行证明与计算。学习难点：内心、外心性质在圆中的运用。

一、目标导学，引入新课知识复习：三角形内心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的圆心；到三角形三个顶点距离相等。三角形外心：三角形三内角平分线的交点。内切圆的圆心；到三角形三边距离相等切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。二、自主学习，合作交流课前练习1、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于______

55°二、自主学习，合作交流2、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=____110°二、自主学习，合作交流3、如图．在△ABC中，AC=10，AB=9，BC=11，它的内切圆与AB、BC、AC分别相切与E、D、F，则AE=AF=

，BE=BD=

，CD=CF=_____564二、自主学习，合作交流4、如图，△ABC中，∠BOC=140°，I是内心，O是外心，则∠BIC=

。125°分析：先利用外心求出∠A=70°，再求出∠ABC与∠ACB的和为110°，最后在△BIC中计算。三、例题讲析（疑难点拨，因势利导）例：如图1⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心，求证：①BD=CD=ID；②∠AIB=90°+∠ACB;分析：1、由内心I可得AD平分∠BAC，从而弧BD=弧CD，证BD=CD，再在⊿BDI中证∠BID=∠IBD得BD=ID.分析：由角平分线AE、BI，在⊿ABI中结合∠ABC+∠BAC=180°—∠ACB计算即得。例：如图，⊿ABC内接于⊙O，

I为△ABC的内心，变式1：如图2，I为△ABC的内心，若∠BAC=60°，求证：BD+CE=BC.分析：辅助线的作法与几何语言的叙述。由例题可得∠BIC=120°，从而∠DIB=∠CIE=60°,在BC上截取BM=BD,连接IM,证两组三角形全等即得。

M例：如图，⊿ABC内接于⊙O，

I为△ABC的内心，变式2、如图3，若∠BAC=90°，DI=，求⊙O的半径。分析：连接BD、CD，由例题结论可得DI=DC，再在等腰直角⊿DBC中计算R=4。例：如图，⊿ABC内接于⊙O，

I为△ABC的内心，变式3：如图3，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，求DI、OI的长。KHG分析：辅助线作法连接BD、CD，作IG、IH、IK分别垂直于三角形三边垂足为G、H、K。结合勾股定理计算得DI=5OI=例：如图，⊿ABC内接于⊙O，

I为△ABC的内心，变式4、如图4，若∠BAC=90°，IE⊥AC于E，OB=R，IE=，求证：

H分析：连接BD，CD，作IH垂直AC于点H，由例1可得DI=DC，在等腰直角△ABC中证BC=CD,在等腰直角△AIH中证AI=IH,线段转化即得结论。四、练习检测，巩固提高。（A组）1、如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F。求证：EF=AE+BF

分析：连接AO、BO，由内心O得到角平分线AO、BO，从而平分内角，运用平行线的性质得到角相等转化成线段关系。四、练习检测，巩固提高。（B组）（B组）2、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是切线，切点是D、B，OC交⊙O于E点，求证：E点是△DBC的内心。分析：连接OD、BE、DE，证明BE或DE是角平分线即可。四、练习检测，巩固提高。（C组）（C组）3．(2014·武汉市模拟题)已知点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，AD、BC交于F．(1)如图1，求证：DE＝DB；(2)如图2，若AD是△ABC的外接圆的直径，G为AB上一点，且∠ADG＝∠C，若BG＝3，AG＝5，求DE的长。分析：图2连接GE,由直径AD证∠ABD=