均值不等式及其证明

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平均值不等式及其证明

平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论讨论和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有很多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的很多结论，其本身又具有重要的意义，特殊是，在很多竞赛的书籍中，都有特地的章节介绍和争论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。

1.1平均值不等式

一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为

12...,n

naaaAn

+++=

几何平均值记为

1

12(...)nnnGaaa==

算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。

12...n

aaan

+++≥

即nnAG≥，

当且仅当12...naaa===时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。

平均值不等式的表达形式简洁，简单记住，但它的证明和应用特别灵

活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和把握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。

1.2平均值不等式的证明

证法一（归纳法）

（1）当2n=时，已知结论成立。

（2）假设对nk=（正整数2k≥）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik>=有

1

1212...(...)k

knaaaaaak

+++≥。

那么，当1nk=+时，由于

121

1(1)

kkaaaAk+++++=

+，1kkG+=

，

关于121,,...,kaaa+是对称的，任意对调ia与jaij≠，1kA+和1kG+的值不转变，因此不妨设{}1121min,,...,kaaaa+=，{}1121max,,...,kkaaaa++=明显111kkaAa++≤≤，以及11110kkkaAaA+++--=有

12...kaaa+++≥

那么，当1nk=+时，由于

121

...kkaaaa+++++121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG++++=+++++++--

1(1)kkkG+≥+-

12(1)kkG+≥-

12(1)kkkG+=-1(1)kkG+=+

从而，有11kkAG++≥证法三（归纳法）

（1）当2n=时，已知结论成立。

（2）假设对nk=（正整数2k≥）时命题成立，即对

0,1,2,...,,iaik>=有

12...kaaa+++≥

那么，当1nk=+时，由于

121...kkaaaa+++++

证法四（归纳法和变换）

证法五（利用排序不等式）

设两个实数组12,,...,naaa和12,,...,nbbb满意1212

...;...nnaaabbb≤≤≤≤≤≤，

则1122

...nnababab+++（同序乘积之和）≥1122

...jjnjnababab+++（乱序乘积之和）≥1211

...nnnababab-+++（反序乘积之和）其中12,,...,njjj是1,2,...,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是12...naaa===或12...nbbb===成立。证明：

切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）

杨森不等式（Young）设12120,0,1λλλλ>>+=则对12,0xx>有1

2

121122xxxxλλλλ≤+等号成立的充分必要条件是12xx=。

琴生不等式（Jensen）

设,(,)yfxxab=∈为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixab∈

(1,2,...,)in=，我们都有

11221122...(...)nnnnfxfxfxfxxxλλλλλλ+++≤+++或11221122...(...)nnnnfxfxfxfxxxλλλλλλ+++≥+++

其中1

0(1,2,...,)1n

iiiinλλ=>==∑

习题一

1.设11,,

1abRa

b

+∈+

=。求证：对一切正整数n，有

21

22

n

n

n

n

nabab++--≥-

2.设,,,abcR+∈求证：

(1)(1)(1)2(1abcabc

b

c

a

+++++≥+

3.设123,,xxx为正实数，证明：

2

2

2

3321121

2

3

2

3

1

(

)(

)(

)xxxxxxxxxxxx++≤++

4.设,,,abcR+∈1abc++=，求证：

(1)(1)(1)8(1)(1)(1)abcabc+++≥

5.设,,xyzR+∈，且xyz≥≥，求证：

2

2

2

2

2

2

xyyz

zxxy

zz

x

y

+

+≥++

6.设,,abcR+

∈，满意2

22

1abc++=，求证：

abbccac

a

b

++≥

7.设,,,abcd是非负实数，满意1abbccdda+++=，求证：

3

3

3

3

1

3a

b

cdbcdcda

dab

abc

+

+