(1.5)-第5章 参数估计统计学

参数估计点估计1评价估计量的标准2区间估计的基本原理3均值的区间估计4本章学习内容总体比例和方差的区间估计5统计名言不像其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。——GudmundR.Iversen导入十年后请你猜猜看樱花树10年能长多高？如果你可以给出一个区间，你认为高度在多少cm之间？区间越宽越好还是越窄越好呢？统计方法统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验点估计频数分布表1频数分布图2点估计的方法3本节学习内容导入案例【例1】某樱花园里栽植了大片樱花树苗,10年后,为考察树高,选出一小片区域共120棵树,测得树高(单位:cm)若直接看这120个数据,因数据较多,很难看出有什么规律，我们按下述程序对这些数据进行处理。18117217814315216317216516117017217913015915618615816511523014315817019019220416016918311619015616516818310812513816315916116117018315720021919219315719219523921215916312514313820315716319018513120622016516519216919510312622518915913111511718616320021323816082120190200157178248149153181138200142163225160213258189169174241214159192186186156161173156165188165编制频数分布表的步骤确定组数编制频数分布表的步骤确定组距确定组限编制表格计算频数频数分布表组序组区间频数频率12345678980～100100～120120～140140～160160～180180～200200～220220～240240～260261022352412630.0170.0500.0830.1830.2920.2000.1000.0500.025频数分布图80100120140160180200220240260树高(cm)

案例1中120个原来看不出规律的数据,用频率直方图进行整理后,成为中间高,两边低的图形,直观地反映了树高的分布情况:树高在160～180之间的松树最多,占29.2%;树高在80～100之间与树高在240～260之间的松树都较少,各占1.7%和2.5%.点估计从总体中抽取一个容量为的样本,对每一次抽取所得到的样本值这时：样本均值与样本方差样本均值记作,其计算公式为样本方差记作，其计算公式为把样本均值直接作为总体均值与总体方差(1)样本均值记作,其计算公式为（表示组中值）点估计点估计(pointestimate)：用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计值点估计的方法矩估计法顺序统计量法最大似然法最小二乘法缺陷没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计计算【例1】的样本均值和方差样本均值样本方差样本标准差样本方差样本均值

CMCM点估计点估计【例2】某电视机厂生产的电视机平均使用寿命是多少？回答：需进行统计推断总体：所有生产的电视机样本：30台随机抽检的电视机数据收集：每个被检电视机（样本）使用的小时数如果该30台被电视机的平均使用时间为50000小时，则可推断该电视机的平均寿命为50000小时统计推断程序样本平均寿命与总体平均寿命之间存在一定差异，点估计无法给出，因此我们可以给出一个区间，进行区间估计评价估计量的标准估计量与估计值1总体参数和样本统计量2评价估计量的标准：无偏性、有效性、一致性3本节学习内容估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)估计量：用于估计总体参数的随机变量，也是样本统计量。如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值

的一个估计量总体参数用

表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的样本统计量的具体值如果样本均值

x=50000，则50000就是

的估计值总体参数和样本统计量总体参数符号表示样本统计量均值比例方差评价估计量的标准——无偏性无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数无偏估计量的统计意义是：是随机变量，它的数学期望等于，即经过多次抽样，的观测值将围绕着变动，没有“系统误差”，是较好的统计量。评价估计量的标准——无偏性无偏性的实际意义无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。统计推断的误差有系统误差和随机误差两种。无论用什么样的估计值去估计，总会时而对某些样本偏高，时而对另一些样本偏低。而无偏性表示，把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为零，即无偏估计量只有随机误差而没有系统误差。例如：用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。评价估计量的标准——无偏性无偏性证明样本均值是总体均值的无偏估计量样本方差是总体方差的无偏估计量评价估计量的标准——无偏性需要注意的问题无偏估计量并不唯一，甚至可以是无限多个。如参数的两个无偏估计量和，对任何满足的，都是的无偏估计量。如果是的无偏估计量，但通常不是的无偏估计量。如样本方差是总体方差的无偏估计量，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计量，是有偏的。无偏估计有时并不一定存在。无偏估计有时不一定是好估计量；有偏估计也不一定是不好的估计量，有偏估计有时可以修正为无偏估计。评价估计量的标准——有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效评价估计量的标准——有效性(efficiency)意义如参数的两个无偏估计量和，如果满足并且，则称比更有效。证明：假设均值与都是总体均值的无偏估计量，则有:由于，因此比更有效，更稳定。评价估计量的标准——一致性(consistency)一致性：是指随着样本容量的增大，点估计的值会越来越接近被估计的总体参数。评价估计量的标准——一致性(consistency)意义由抽样分布理论可知，样本均值抽样分布的标准差为，由于与样本容量大小有关，样本容量越大，的值就越小，因此大样本容量给出的估计量更接近总体均值。区间估计的基本原理区间估计1置信水平2置信区间3本节学习内容导入案例在【例1】中，120棵樱花树高度的频数分布图如下：【思考】120棵樱花树的平均高度cm，求总体均值的区间，下列选项中最适合的是（

）。A[80，260]B

[160，180]C[120，220]80100120140160180200220240260树高(cm)为什么C比A、B更适合？怎样构造最适合的区间？区间估计区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减允许误差而得到。如总体均值的区间估计：样本统计量加减允许误差。注：点估计的缺陷在于没有给出样本均值与总体均值之间的差异，即允许误差。区间估计根据样本均值抽样分布理论和无偏估计理论：只要给出一个概率的度量，Z查标准正态分布表可得如果未知可用S代替总体均值μ在置信水平下的置信区间：置信水平置信水平将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平。表示为1-

为总体参数未在区间内的比率常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的

为1%，5%，10%置信区间和置信水平的表述(置信水平95%下的置信区间)

20个样本

我没有抓住参数！点估计值区间估计19个样本区间估计

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58

x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x区间估计的图示置信区间置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。注：统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间；实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个；如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间，同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述；一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题；置信区间置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。注：置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言。总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数；使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数，但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义；影响区间宽度的因素总体数据的离散程度用

来测度；（正比）样本容量n；（反比）置信水平(1-

)，影响z的大小。（正比）均值的区间估计[大样本]总体均值区间的一般表达式1总体均值的区间估计(大样本)2例题分析3本节学习内容总体均值区间的一般表达式总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为样本均值±分位数值×样本均值的标准误差总体均值的区间估计（大样本）假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为ABCD例题分析【例3】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532例题分析【解】已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁均值的区间估计[小样本]总体均值的区间估计(小样本)1例题分析2本节学习内容总体均值的区间估计(小样本)假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知小样本(n<30)使用正态分布统计量z总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为例题分析【例4】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3例题分析【解】已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计(小样本)假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

未知小样本(n<30)使用t分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散，依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于标准正态分布。t分布期望为：E(t)=0，方差为：D(t)=n/n-2。xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z例题分析【例5】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470【解】已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131根据样本数据计算得：总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时例题分析总体比例和方差的区间估计总体比率的区间估计1总体方差的区间估计2一个总体参数的区间估计（小结）3本节学习内容总体比率的区间估计假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z总体比率

在1-

置信水平下的置信区间为例题分析【例6】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下