第三章7讲正弦与余弦定理

7讲 sinA＝sinB＝sin(R为△ABC外接圆半径sinA＝ sin b sin ＝asinA＋sinB＋sin sincos cos cos 1 S＝bcsin absin 1S＝p（p－a）（p－b）（p－c） →c＝a－b，.－2cacosa＝bsinbsin 2 26 6 [解析]由正弦定理得a＝csin sin26sin 6×2所以a＝sin30° ＝62教材习题改编在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( [解析]cos ＝2×5×8B＝60°，在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( C．有一 [解析]因为a＝bsin sin所以sinB＝b·sin sin 2＝3a<b，B

[解析]sinB＝3，S△ABC＝1acsinB＝42，

＝[答案5．(2016·高考北京卷)在△ABC

a＝ [解析]在△ABC中，∠A＝3

，则a2＝b2＋c2－2bccos3，a＝3c，3c2＝b2＋c2＋bc，c所以所以c[答案利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中 1BC，则cos 3C．－

B.D

＝3

边上的高等于 ．－4cos π【解析】(1)设△ABCA，B，Ca，b，c，由题意可得3a＝csincc，a＝32在△ABC中，b2＝a2＋c2－2ac＝92＋c2－3c2＝5c2，c 2 5 910 2c＋c10 c.由余弦定理，可得cos

＝－10，2×2(2)因为A，C为△ABC的内角，cosA＝4，cosC＝5 所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝3×5 ×

又a＝1，所以由正弦定理得b＝asinB＝sin

× 【答案

sin sin

角度一由已知求边和角A＝3csinB，a＝3，cosB 6 6 2＝6，b＝6，角度二解三角形与三角函数结合b、c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB. f(x)＝sinωx6－cosωx(ω＞0)f(x)[解1)a2＋b2＝6abcosC，a2＋b2＝c2＋2abcos所 cosC＝4ab，sinC＝2sinAsinB，c所 所以C＝3 (2)f(x)＝sinωx－6－cosωx＝ sinωx－2cosωx＝3sinωx－3，由已知可得＝ π，所以ω＝2，则 3sin2A－ 3 C＝3，B＝3－A，0＜A2，0＜B＜2，所以6＜A2， 0＜2A3＜3，f(A)的取值范围是(0，(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( B．锐角三角C．钝角三角 b＝2c，则B sinB是 B．锐角三角C．等腰直角三角 【解析 (1)由正弦定理得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由π≥(2)因为a＋b＝2c，所以由正弦定理可得sinA＋sinB＝2sinC，而sinA＋sin≥sin sin sin sin sin sinsinBsinsinA·sinB＝2，sinA＝sinB时取等号，2sinC≥2，sinBsinsinC≤1，sinC＝1，所以∠C＝90°.sinA＝sinB，A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案 [解]法一：2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以 若已知条件中有边又有角，在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( [解析]2A＝B＋C，A＝60°.又cos 所以在△ABC中，a，b，cA，B，C2asinA＝(2b＋c)sin＋b)sin(2)sinB＋sinC＝1，试判断△ABC[解1)由题意知a2＝b2＋c2－2bccoscos(2)由(*)sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinsinB＋sinC＝1，sinB＝sin因为与三角形面积有关的问题[P84]C(acosB＋bcos的面积为2(2)若c＝ 3 ABC的面积为2【解】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，2sinCcosC＝sin可得cosC＝1，所以 ＝3 1absinC＝3 2πC＝3，由已知及余弦定理得故所以△ABC5＋acsin求三角形的面积．对于面积公式S＝1absin acsin

(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边sina，b，ccos(B＋C)sin33[解1)cos(B＋C)＝－3sin2A可得33－cosA＝－3sin3cosA＝3×2sinAcosA，因为△ABC为锐角三角形，cosA≠0，sinA＝ 2A＝3 a2＝b2＋c2－2bccosA，c＝－3(舍去所以△ABC的面积为1bcsin 3＝10

14，b－a＝2c(1)tanC(2) 2sin ＝又由 ＝ －cos2B＝sin2C＝2sinCcostanC＝2.(6分55sinC＝25，cos 5.(8 sinsinB＝310.(9分)c＝2

(10分3

1bcsinbc＝62，(11分)故b＝3.(12分)c＝2a，则cosC＝( 243

－232 [解析]由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝2a，cos4＝－2，4

2a×2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABCA，B，Ca，b，ca2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为 A. 2

2 [解析]cos33＝3，3×

2 2 B．直角三角C．锐角三角 [解析]已知c＜cosA，由正弦定理 sinC＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以 ，得sinBsin(A＋B)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，cosBsinA＜0.A＞0，cosB＜0，B为钝角，所以△ABC在△ABC

sin，

sinC sin [解析]由正弦定理得sinC＝c，cossin 2sinAcos sin 所以sinC sin ＝2·sinC·cosA＝2×6×2×5×6

，因为在△ABCA，B，Ca，b，cbsinA3acos

2A.

b22 [解析]在△ABC中，bsinA－3acossinBsinA－3sinAcostanB＝3，B＝3b2＝a2＋c2－2ac·cosb2＝ac，4b2＝(a＋c)2，求得b2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为 36336A. 323C. [解析]C取最大值时，cosC最小 由cos ＝4c＝43c＋c≥3c＝3时取等号3sinC取最大值时36△ABC的面积为1absin 36 ．2]2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝23，由正弦定理，得2R＝a＝2 解得sin 32[答案在△ABC中，b＝ccosA＋3asinC，则角C的大小 [解析]b＝ccosA＋3asin由余弦定理得 ＋3asinb2＋a2－c2＝23absin2abcosC＝23absin即tanC＝3.又0<C<π，所以 3π[答案]

＝622＝2c，则△ABC的形状一定 1－cosB [解析]由题意， ＝2c，即cosB＝c，又由余弦定理，得 [答案]10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，则cosA＝ [解析]sinA，sinB，sinC成等差数列，2sinB＝sinA＋sin因 因 sin sin sina＝2c，b＝39 4c＋c 所以cos

＝3bsin(2)cos

1

sinC[解1)在△ABC中，由a＝bsin sinasinB＝bsinasin2B＝3bsinA，2asinBcosB＝3bsinA＝3asin所以cosB＝3，所以 ＝6(2)由cosA＝1，可得sinA＝2 3sin

3sinA＋1cosA＝26＋1.

＋6＝ 2asinA＝(2sinB－3sinC)b＋(2sinC－3sinB)c.(2)a＝2，b＝23，求△ABC[解1)2a2＝(2b－3c)b＋(2c－b2＋c2－a2＝2cosA＝2πA∈(0，π)，A＝6 (2)由正弦定理sinA＝sinB，a＝2，b＝23，A＝6，得sin 又 ∈0，，B＝或 6 若 π，则 π，于是 ＝1ab＝2＝ ＝

则

于是 ＝1absinC＝＝ ＝ asinA＋bsinB－csin 23 sinBsin ＝3a＝23.若b∈[1，3]，则c的最小值为 23 23asinA＋bsinB－csin 2

[解析]3333

sinBsin ＝

a， sinC．由余弦定理13知cos ，即3cosC＝3sinC，所以tanC＝3，故cosC＝2，所以3b＋12＝(b－3)2＋9，b∈[1，3]，b＝3时，c已知在锐角△ABCA，B，Ca，b，c，2asinB＝c＝3，AD是内角的平分线，则 [解析]2asinB＝3b22sin∠BAC·sinB＝3sinB，sin∠BAC＝2因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝3.. BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×35BC＝7，BD＝3535735714cos2(2)若△ABC的面积为32 [解1)b＝1，a＋a＝4cosA＝90°，

2c2＝a2＋1＝c2＋2，c＝2，a＝.S△ABC＝1bcsinA＝1bc＝1×1×2＝. 3(2)S△ABC＝1a