轮换对称式的最值问题

轮换对称式的最值问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位” 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。知识梳理不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中，若把其中任何两个字母a,a（i,j=1,2,...,n且i丰j）对调位置后，这个ijabc3不等式不变（如①+ +—匚工，其中a,b,c>0）,我们便称此不等式是关于b+cc+aa+b2a,a，…,a对称的。如果把不等式中的字母a,a，…,a按一定顺序依次轮换（如a换12n 12n 1成a，a换成a，...，a换成a）后不等式不变（如②2 2 3 n-1 nc2—a2a2—b2b2—c2-——+ +——->0,其中a,b,c>0），我们便称此类不等式是关于b+cc+aa+ba,a,...,a轮换对称的。1 2 n对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。关于a,a，…,a对称的不等式，由于a,a互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他TOC\o"1-5"\h\z1 2 n ij们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列a,a，…,a的大小顺序（如在①1 2 n中可设a>b>c），而关于a,a,...,a是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大1 2 n小顺序，而只能做较弱的排列，如a>a,a>a，…，a>a，即某一个是其中1n 2 n n-1 n的最大或最小（如②中可设a>c，a>b），因为我们总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最大的位置。取得最值的判定暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（1）凑项法（最常用）在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值；判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明。上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。（2）求配偶式法（即（1）的进化版本）当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。其中设配偶式求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。（3） “非常规最值”的应对方法前几个方法中,首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为“常规最值”。然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节不再做说明）和图像法等。

例题精讲【试题来源】【题目】已知X,y,zeR+，且x+y+z=1，求＜4x+1+、：4y+1+、；4z+1的最大值【答案】＜21【解析】猜想当X=y=z=3时取得最大值，此时斜x+1*4y+1»4"1二亍，最大值ry 7 （ 厅5下证明：因为2飞3*4x+1-3+4x+1，所以v4x+1气y（2x+3），同理 J~3 5 \3 5<4y+1气7(2y+3)，v'4z+1 z+3)，上述三式相加，并将x+y+z=1代入化简即得证。（本题也可以用琴生不等式易证得）【知识点】轮换对称式凑项升幂法【适用场合】当堂例题【难度系数】2试题来源】题目】证明Cauchy证明Cauchy不等式aj+aj+ 卜aj(a+a+•••+a)21 2 n-n答案】（证明题）解析】证明：设Q]+a2+ +a”证明：设Q]+a2+ +a”二a则a2+(-)2

in> -a，所以工a2+n-()2>工an i=1in ni=1i(a+a+•••+a)2即a2+a2+•••+a2> 1 2 n-1 2 n n知识点】轮换对称式凑项降幂法适用场合】当堂练习题难度系数】2

试题来源】1990年第24届全苏数学奥林匹克题目】设xi,'Xn是正数，且％+X2+•••+»二1，x2-1-X22+x2-1-X22+X+X23X2—n—1 +X2—nX+Xn-1 nx+x的最小值n1答案】解析】分析：由于当X1答案】解析】分析：由于当X1=X21=-时等号成立，于是n Xi+Xi+1Xi2下证：设Xn+1X2下证：设Xn+1X2i=叫，因为1 Xi+Xi+1所以士i=1X2iX.+X,ii+11nn n+—(工X.+工X..)>工X.，4i i+1 i4i=1 i=1 i=12即士丄i=1Xi+Xi+1知识点】轮换对称式凑项去分母法适用场合】当堂例题难度系数】3【试题来源】【题目】1113设a,b,ceR+，且abc=1，求证：眉刁+b3(R+而莎＞2【答案】(证明题)【解析】TOC\o"1-5"\h\zb2c2 c2a2 a2b2 3原不等式等价于石+b(C+a)+而＞2b2c2 1 b2c2 1当a=b=c=1时等号成立，此时a(b+7)=4a(b+c)，所以，a(b+c)+4a(b+c)＞力,a2b2 1同理，+—b(c+a)>cab(c+同理，+—b(c+a)>cab(c+a) 4b2c2 c2a2a2b2 1 3 3+ + n—(ab+be+ca)> 3ab-be-ca=—a(b+c) b(c+a) c(a+b) 2 2 2【知识点】轮换对称式凑项去分母法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】1的最小值。1的最小值。设a,b,ceR+，且a2+b2+c2=3，求 + +1+2ab1+2bc1+2ca【答案】1【解析】猜测a=i=c=1时，最小值为1。+九［1+2处&越下证：令^>0，由均值不等式得 ，此不等式等号成立条件是。又易知所证不等式等号成立的条件是，同理有1112丸=— +-(1+2^)>-，同理有•于是有112，将这三个不等式相加得，1+2ab+1^2bc+1+ -3"92bcJr2c£^又由均值不等式可得，*2（八护+/）22处+2虹+加，代入上式显然得证。【知识点】轮换对称式求配偶式法【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若x,xx为小于1的正数且x+x+...+x=1，m,neN*且m>2,n>2，则1 2 n 1 2 n

+ +...+ X—Xmx—xm x—xm1 1 2 2 nnnmnnmnm—1—1【解析】此不等式等号成立的条件是為证明：因吗丸获二以…间，则吗-卄°1）.令"0,由均值不等式得此不等式等号成立的条件是為此时吗=-（I=12…卫）•又易知所证不等式等号成立的条件是此时M-1于是有M-1_n2CA!-禹） ■_1nM-1，其中 ，将这总个不等式相加得,B1 2朋口V >——rM—Wi-1因为x因为x+x+...+x=1,所以12代入上述不等式化简得：L_芒_二二 >—（均值不等式），即EE2-1M-l-I七一1【知识点】轮换对称式求配偶式法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】非负实数a,b,c满足a+b+c=1，记S= + +，求S的取值范围。1+a1+b1+c【答案】4・s<54 2

【解析】【解析】嗚造严等克亡「"-十曰"门或I时取等号h讲解.三一亡二时①讲解.三一亡二时①一卫易知式i 4烫边E涉为常规爆直斗由平均不符式的推论有—*-+1k*-f1+n+i4^+1+d、I却1+&I4£即9'■^~j'.式①二边为非常规最宣•可对每一项构造一牛'矗当'的不竽式•然后相加-注意到一L-^1-1+日2r =■：：I(I4^J、?Or口-躬「切由0耳占皂一1知.上式成立一同理，十勾-舟｛当“°或】时取等号几—切-—(3C-0或1时取等号'■W2以丄二芬相加得中一匕#业恥中V个为僅一个KI时，上克等号成立注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端取等的不等式来帮助证明。【知识点】非常规最值构造不等式法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2007女子数学奥林匹克(改编)【题目】非负实数a,b,c满足a+b+c=1，求S求S的最大值。【答案】2【解析】发现当a=b=c=3,S=€3不是最大值。构造不等式A+°th-e)'1J+"A+°th-e)'1J+"*： I：\ 4 2「式C：0口+丄fh-2加十用)d.w[ 小I +2加+c4-afb+iLJ+ 4+&f1-②-左+屁『0又最后一式显然成立.故式①成立.且当be一().即处中至少有一个为0时「等号成立一白兰少一个为仆时"等号成立丿;—个为0时等号成立丿-

以上三式相加得空比4+ 4c4-£24-'14-^^-"当□、氐e两个为0、-个为I时，上式等号成立，【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】设角A、B、C满足cos2A+cos2B+cos2C=1求：一J+—丄 +—丄的最小值sin2Asin2Bsin2C9【答案】【解析】分析：原条件等价于sin2A+sin2B+sin2C=2，猜测当sin2A=sin2B=sin2C=-时最小值为39-。下证：构造 +沁>3，+班墮B>3，+皿C>3上述三式相加2 sin2A 4 sin2B4 sin2C4并化简得证。【知识点】轮换对称式凑项去分母法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】abc,「已知a,b,cGR+，求 + + 的最小值。b+ca+ca+b

3【答案】2【解析】3a二b二c时显然有min为㊁。abc + + 下证：设 ，则所求式可化为7貳—亡，进而变为__a_ C再令X" 「则2"。且忑+尹+g=［，所求式变Z 111 斗 斗 17,分离常数得1—兀1—y—（换元使分子为常数，方便进一步的基本不等式）丄+几（1—閉乏2扳仇nQ）丄+几（1—閉乏2扳仇nQ）构造1—工——=期1—舟则此不等式等号成立的条件是1—忑.又易知所证不等式等号成立的条件是，此时，所以—+-0-^>3—>-x+- 丄夕+：，即 ，同理可得1一）—+-0-^>3—>-x+- 丄夕+：，即 ，同理可得1一）丄，将这三个不等式相加得,丄十丄十丄兰—1P1弋°,故原不等式成立。【知识点】轮换对称式求配偶式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】1984年巴尔干地区数学竞赛题【题目】(n>2)且a(n>2)且a+a+...+a1 2 n=1，求证:a1—2—aia+ 2—2—a2a+...+n 2—an2n—1【答案】（证明题）【解析】> 2—s. 2?3—1 ,、，.口口,亦即土他、> 2—s. 2?3—1 ,、，.口口,亦即证明：所证不等式即 ，也就是I郭右®启也就是冬土处缶B郭右®启也就是冬土处缶B1，故只需证构造 ，此不等式等号成立的条件是2-’爲二一—即住-吗〕构造 ，此不等式等号成立的条件是2-’爲二一—即住-吗〕吗=-（I=1忆…，刃）.又易知所证不等式等号成立的条件是,此时1 池1 池 2龙2_駕+（2旳_转-2k-1…x…x〔”产T,其中21,2,…申.将这用个不等式相加得，B12«B12«3Z-1旳 搭 2旳 ” H 1 n把存I代入得 ，故,把iJ原不等式成立.【知识点】轮换对称式求配偶式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】6设z>0,z>x+y，则x2+y2+z2>5(yz+zx+xy)。【答案】（证明题）【解析】z分析：当x=y=时等号成立。证明：因为x2+（寸）2>xz，y2+（寸）2>yz，^3（x2+y2）>3xy①，将上述二式相加并化简得,x2+y2+5z2>5(xz+小5xy②2 2 24 2"2/ 、6 4 2 6所以,x+y+z>z+ (xz+yz)+xy>z(x+y)+ (xz+yz)+xy^5 ^5 ^5 ^5 ^5 ^5即x2+y2+z2>5(yz+忘+厂)。

注：只有①式的系数凑成3，②式中xy的系数才能是勺2 5【知识点】非常规最值构造不等式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】非负实数a,b,c满足a+b+c二1,记S=、：4a+1+\4b+1+、：4c+1，求S的最小值。【答案】2+吕【解析】猜测端点处取最小值，最小值为2+下证：证明引入辅助函数/(X)-/4/(X)-/4咒+1(0<^<1).取端点ti=O,x2=1代入得Xi=1，咒二託•记点P(0,l),Q(I,再).于是，经过>卫的曲线方程为y=(v'5-1)x+I.猜想-l)x+1(0<x<l).要证明猜想成守，如图1，只需证明辅助函数人门为凹函数即可.由八小八筈7；①知函数/&)*0<x<!上为凹函数.分别令x=a,x=b,x=c.Klj+1〉(J写-])化+1； (1)阿W(3-1"+1； ②/47ZT>(75-l)c+L ③①+②+③得+1+ +1+J4c+1>(応—l)(a+fr+c)+3=(<5-1)x]+3=2+、/5.故原不等式得证-知识点】非常规最值构造不等式/图像法适用场合】随堂课后练习难度系数】2试题来源】第19届北欧竞赛题

【题目】2a2 2b2 2c2设a,b,ceR+，求证： + + >a+b+cb+cc