专题02常用逻辑用语（考点归纳与六大题型方法总结）

专题02常用逻辑用语【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：全称量词命题和存在量词命题的判断及真假题型三：充要条件的探求与证明题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定题型五：根据充分必要条件求参数的取值范围题型六：全称量词命题与存在量词命题求参数【【考点归纳】考点1：命题的定义与表示1．命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2．命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论．考点2：充分条件条件、必要条件、充要条件1．充分条件与必要条件定义（1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论.这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作pq.这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2．充分条件与必要条件的关系是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。3．充要条件的定义如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。【补充】概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．（1）若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．（2）若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．（4）若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．【说明】①充要条件的含义若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。②充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。考点3：充分、必要、充要条件的证明1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。【注意】尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即考点4：全称量词与存在量词及真假1．全称量词与全称量词命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．（3）特称命题：含有存在量词的命题也叫做特称命题.3．判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；4．判断存在量词命题真假只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。考点5：含有一个量词的命题的否定1．全称命题的否定原命题全称命题原命题的否定特称命题2．特称命题的否定原命题特称命题原命题的否定全称命题【微点拨】全称命题与全称量词、特称命题与存在量词全称量词指定范围否定形式全称命题所有的任何的任意的整体或全部有些有的存在对M中任何x，有p(x)成立记：，都是不都是对M中任何x，p(x)不成立记：，存在量词指定范围否定形式特称命题有一个、存在整体的一部分没有、不存在在M中存在某x，有p(x)成立记：，p(x)至少有一个一个也没有在M中存在某x，p(x)不成立记：，至多有一个至少有两个命题否定形式之间的关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【方法技巧与总结】1．充分条件、必要条件的判断方法（1）定义法：直接利用定义进行判断．（2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．（3）利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．2．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．3．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．4．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．【【题型归纳】题型一：充分条件与必要条件的判断【例1】已知集合，，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由可得，解得或.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.【例2】使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】使成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含，但不完全一致，A选项解集为或，成立，A选项正确；B选项解集为，为充要条件，B选项错误；C选项解集为，不成立，C选项错误；D选项错误；故选：A.【例3】已知，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D【【方法技巧归纳】1．要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2．充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．3．定义法判断充分条件、必要条件（1）确定谁是条件，谁是结论（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.【【变式演练】1．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（）已知该患者不是无症状感染者A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A．2．（2021·湖南）“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由可得，由可得所以“”是“”的充分不必要条件故选：C3．（多选）的必要不充分条件可以是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】,即的充要条件是，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，观察选项发现是的真子集，故选：BD.4．指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？（1）若，，；（2）或；；（3）：能被整除，：能被整除．【答案】（1）是的充分非必要条件，是的必要非充分条件（2）是的必要非充分条件，是的充分非必要条件（3）是的充分非必要条件，是的必要非充分条件【解析】（1）若，可以推出，反推不一定成立，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；（2）或，推不出，反推成立，所以是的必要非充分条件，是的充分非必要条件；（3）能被整除，推出能被整除，反之不一定成立，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件.题型二：全称量词命题和存在量词命题的判断及真假【例4】（多选）下列命题是全称量词命题的是（）A．负数的绝对值大于0B．所有的菱形都是平行四边形C．负数的平方是正数D．【答案】ABCD【解析】对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；对于D，，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题.故选：ABCD【例5】以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数，使C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使【答案】B【解析】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当时，成立，所以B正确；对选项C：，故C为假命题；对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.故选：B【例6】有下列四个命题：①，；②；③，；④.其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，，，故命题成立；对于②，显然当时满足，但，故命题为假；对于③，显然时满足，成立，故命题为真；对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假.综上，真命题的个数为2.故选：B.【【方法技巧归纳】1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2．要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.3．全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．【【变式演练】1．（2023·河北·高三学业考试）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】，，当⫋时，，使得，故A错误；，，必有，即，必有，故B正确；由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；当时，不存在，使得，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B．2．能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，即，解得或或，所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题，故符合题意的为D.故选：D3．（多选）下列命题中是假命题的是（）．A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】取，，所以选项A，C不正确；由得是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，故选：ACD4．（多选）下列命题错误的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【解析】A.由，得，故错误；得：或，故正确；C.由得：，故错误；D.由，故正确；故选：AC题型三：充要条件的探求与证明【例7】求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．【答案】详见解析【解析】先证明充分性：由，即，所以，所以，三角形为等边三角形.然后证明必要性.当三角形是等边三角形时，，所以.综上所述，是等边三角形的充要条件是.【【方法技巧归纳】充要条件的证明策略（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.【【变式演练】1．已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】先证明充分性：若，则成立．所以“”是“”成立的充分条件；再证明必要性：若，则，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要条件.综上：成立的充要条件是．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【答案】见解析．【解析】(1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定【例8】（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（

）A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B【例9】已知命题，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.【例10】写出下列命题的否定：（1），；（2）p：所有自然数的平方都是正数；（3）p：任何实数x都是方程的根；（4）p：有些分数不是有理数.【答案】（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.【解析】（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.【【方法技巧归纳】含有一个量词的命题的否定的方法（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．【【变式演练】1．设命题，则为（）A．B．.C．D．.【答案】A【解析】命题，，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则为：，．故选：．2．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”.故选：B.3．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.故选：C题型五：根据充分必要条件求参数的取值范围【例11】已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．【答案】D【解析】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.【例12】若“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，则的取值范围是________．【答案】【解析】由题意可知，“”是“”必要不充分条件，则，所以，.故答案为：.【【方法技巧归纳】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围（1）化简p，q两命题；（2）根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；（3）利用集合间的关系建立不等式；（4）求解参数范围.【【变式演练】1．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，即若是的必要条件,则，，解得，故选：A.2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】“”是“”的充分条件，，，即实数的取值范围为.故答案为：.3．（2021·浙江高一期末）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】，，且是的必要不充分条件，所以是的真子集，所以或，解得，题型六：全称量词命题与存在量词命题求参数【例13】已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．【例14】已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；【答案】【解析】命题p：“，”是真命题，故，所以，解得，故m的取值范围是.【【方法技巧归纳】求解含有量词的命题中参数范围的策略（1）对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.（2）对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax.【【变式演练】1.（多选）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（）A．B．0C．D．【答案】ABC【解析】因为，为真命题，所以方程有实根.当时，符合题意；当时，由方程有实根，可得，所以.综上，实数的值可以是，和.故选:ABC.2.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【解析】命题“”为假命题，”是真命题，方程有实数根，则，解得，故选：A.3．（2021·河北）已知，（1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（1）存在，【解析】，（1）若“x∈A，使得x∈B”为真命题，即集合、存在公共元素，假设、无公共元素，则或，解得或，则集合、存在公共元素时，实数m的取值范围.（2）存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，则，所以，解得，所以m的取值范围为.【【过关检测】一、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（

）A．每一个圆的内接四边形是矩形B．有的圆的内接四边形不是矩形C．所有圆的内接四边形不是矩形D．存在一个圆的内接四边形是矩形【答案】B【分析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A，C不符合题意，同时对结论进行否定，所以：有的圆的内接四边形不是矩形，故选：B.2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：因为命题“”为全称量词命题，其否定为“”；故选：D3．（2022·广东梅州·高一期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．即不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合题意，即可得到结果.【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．（2022·广东清远·高一期末）命题“，是4的倍数”的否定为（

）A．，是4的倍数 B．，不是4的倍数C．，不是4的倍数 D．，不是4的倍数【答案】B【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．故选：B5．（2022·广东珠海·高一期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故选：B6．全称量词命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．以上都不正确【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”.故选：C.7．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp．【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要条件．故选：A.8．下列全称量词命题与存在量词命题中：①设A、B为两个集合，若，则对任意，都有；②设A、B为两个集合，若，则存在，使得；③是无理数，是有理数；④是无理数，是无理数.其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.【详解】对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.所以①②是真命题.故选：B二、多选题9．下列四个命题中为真命题的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于的方程有实数根的充要条件是D．若集合，则是的充分不必要条件【答案】AC【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系.【详解】且，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选：AC.10．如图所示的电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分别分析四个选项中的电路，选出开关S闭合灯一定亮，灯亮时，开关S一定闭合的选项即可.【详解】A:当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，也可能是S上方开关闭合，因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件，A不正确;B:当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此B正确;C:当开关S闭合时，灯泡L不一定亮，所以C不正确;D:当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此D正确.故选:BD.11．下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题D．命题“，”的否定是“，”【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，若，取，则，即“”“”，故“”是“”的充分不必要条件，A对；对于B选项，若，不妨取，，则，即“”“”，若，取，，则，即“”“”，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；对于C选项，取为无理数，则为有理数，C错；对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对.故选：AD.12．下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.【详解】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；对于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的两个根为或，C正确