专题8函数的建模与探究-原卷版

专题8函数的建模与探究中学数学建模是2017年版《普通高中数学课程标准》的主线之一,也是自1995年高考数学引人应用题后的一个热点,新高考数学命题中必然会强化对学生数学建模能力的检测.现实生活中的各类现象根据内涵与数学本质的不同可以分成许多具体模型,识别数学模型、建立数学模型、解决数学模型中的问题,需要掌握特殊的分析问题的方法.中学数学建模有两大类:一是数学建模活动,要作为课题研究来进行;二是数学建模题求解,作为数学建模活动成效的一种检验,前者是后者的必要前提.这里主要探讨数学建模题求解中遇到的障碍,痛点、卡壳点非常多,必须寻找排除痛点的有效途径.按照2017年普通高中课程标准定义,数学建模是对现实问题进行抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程是在实际情境中,从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题,8个步骤,要求步步了解,重点掌握,一旦缺少就会产生痛点.一、电费计算中的建模意识生活中要用电、用水、用天然气等,每月都会有一些支出,作为学生,你想过其中的数学模型吗?你会描述其中的数学模型吗?问题1:你知道你的家庭每月电费是如何计算的吗?使用峰谷电的家庭按照浙江省居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段统计用电量.电网销售电价表如下:高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表月高峰用电量(单位:千瓦・时)高峰电价(单位:元/(千瓦・时))月低谷用电量(单位:千瓦・时)低谷电价(单位:元/(千瓦・时))50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288实际计费时,每月每个时段每户基本用电量为50千瓦•时,超过50千瓦•时不足200千瓦•时(含200千瓦•时),每千瓦•时加0.03元,超过200千瓦•时部分,每千瓦•时加0.10元.某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦•时,低谷时间段用电量为100千瓦•时.(I)该家庭5月应付的实际电费为元;(用数字作答)(II)设峰电量为x,谷电量为y,确定电价f(二、最佳工作安排的函数模型为了提高工作效率,某项工作中会遇到一些科学安排问题,需要用数学模型来解读实际问题.然而,现实中很多学生不会用数学工具来解读,因此产生痛点.问题2:某省阅卷点高考数学阅卷教师共有400人,要完成文理科数学试卷的阅卷任务.阅卷安排时,需将400人分成两组,一组完成475捆理科试卷,另一组完成269捆文科试卷,据历年阅卷测算,理科每捆阅卷需要4天/人,文科每捆阅卷需要3天/人.(I)如何安排文理科阅卷教师的人数,使完成全省文理科阅卷任务的时间最省?(阅卷时间=阅卷工作量/人数=每捆阅卷时间×文(理)科试卷捆数/人数)(II)由于今年理科阅卷任务加重,理科实际每捆阅卷需要4.5天/人,在按(I)分配人数阅卷4天后,从文科组抽调20人去阅理科卷,试问完成全省阅卷任务至少需要多少天?（天数计算到小数点后第3位)三、质量分数中的函数模型对于已知的数学模型,为了解释其中的现象和本质,需要对数学模型进行解读或证明,找到问题的解或证明其符合规律.问题3:有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积V=10万立方米,每天流出湖泊的水量都是r=2000立方米.现假设降水量和蒸发量正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合,用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称g(t)为在时刻(I)当湖水污染质量分数为常数时,求初始的湖水污染质量分数;(II)求证:当g(0)<(III)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?(参考数据:lg⁡2≈0.3,ln⁡20≈3,lg⁡20≈1.3,ln⁡50≈4,lg⁡50≈1.7)四、优惠购书中的数学建模建立实际问题的数学模型后,需要根据模型对实际问题进行分析,学生往往在组织文字语言表达观点时遇到障碍,产生痛点.问题4:图书销售商为了推销图书,提出种种优惠办法.甲公司的批量订购优惠办法是:凡订购额在300元以下者,无优惠;301-1000元,优惠10%;1001-2000元,优惠13%;2001-3000元,优惠15%;3001-4000元,优惠18%;4000元以上,优惠20%;先款购书者,可在以上优惠基础上,再增加10个百分点的优惠.乙公司的优惠办法是:凡订购额在500元以下者,无优惠;501-2000元,优惠20%;2001-4000元,优惠25%;4000元以上,优惠30%;先款购书者,可在以上优惠基础上,再增加5个百分点的优惠.(I)试分别建立两家公司先书后款和先款后书情形下的优惠函数.(实际付款额与所购图书款之间的关系式)(II)试分析哪家公司优惠幅度较大?(III)某用户准备购买两家公司都有且书价一样的一种书200本,每本价格为13.80元,在先款后书的条件下,该用户选择哪家公司最合算?五、三峡水库蓄水量的数据拟合在大数据时代,要分析大量数据所呈现的规律以服务社会经济建设,数据拟合就是最好的工具.通过对大量数据所描述的散点图进行分析,用恰当的数学模型进行拟合,在这个过程中,选择拟合函数模型是一个难点,计算误差是另一个难点,学生接触到此类问题时容易遇到痛点.问题5:2003年6月1日,中央电视台播放了十分壮观的长江三峡工程开始蓄水的实况,三峡22个泄水闸关闭了19个,当时江面海拔100米.之后,节目主持人每天都报告江面海拔高度和三峡水库蓄水量情况,现记录部分公布的数据如下:时间6月1日⋯6月7日⋯6月10日⋯江面海拔/米100⋯125⋯135⋯蓄水量/亿立方米23⋯85⋯123⋯在平面直角坐标系中以江面海拔高度为x轴,蓄水量为y轴,描点、作图,观察蓄水量y与江面海拔x之间的相关关系,用一个函数去描述,写出函数解析式并预测当江面海拔达到175米时,长江三峡水库的蓄水量(亿立方米).强化练习1.2019年1月3日,嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,它沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2设α=rR,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2.民用航空委员会的一位统计学家想要预测一个标准尺寸的集装箱的货运费用,从不同公司抽取了一个包含10个标准集装箱的货运费用样本,用d表示货运路程(单位:英里),用c表示货运费用(单位:美元),得到一组数据如下:d300500600900100012001400160017002200c294155507060787589105他建立了一个坐标系,描绘了一个散点图,描述货运路程d与货运费用c之间的数量关系,选择相隔较远的两点的数据,用一条直线去模拟,并建立直线方程.请写出该直线的方程.第2题图3.下表是一位驾驶员手册中的内容:在干燥的混凝土路面上的停车距离.车速/(英里・时驾驶员反应距离/英尺脎车距离/英尺停车距离/英尺2022224430335083404488132505513819360661982647077270347注:1英尺=0.3048米,1英里≈1.6093千米.假设观察从0秒计时,反应时间为0.75秒,这是一种乐观的假设.A:制作一个停车距离相对汽车速度的散点图.B:能否用一个二次函数来描述这一组数据?若能,求出一个以车速x为自变量,d为因变量的二次函数.建立数学模型:在高速公路或