20182019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义讲义含解析苏教版选修2120190416315

2.5圆锥曲线的统一定义 圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F的距离与到定直线(准线)l的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F(c,0)，定直线x＝(a>0，c>0)．动点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与到定直线x＝的距离的比为.问题1：求动点P(x，y)的轨迹方程．提示：由＝，化简得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．问题2：当a>c，即0<<1时，轨迹是什么？提示：椭圆．问题3：当a<c，即>1时，轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆，当e＞1时，它表示双曲线，当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 圆锥曲线的准线从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程＋＝1(a＞b＞0) x＝± ＋＝1(a＞b＞0) y＝±－＝1(a＞0，b＞0) x＝± －＝1(a＞0，b＞0) y＝±y2＝2px(p＞0) x＝－ x2＝2py(p＞0) y＝－y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝－2py(p＞0) y＝圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的． 利用统一定义确定曲线形状[例1]过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．[思路点拨]利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e的范围即可判断．[精解详析]设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝，R＝＝＝.由题意知R＞d，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案]双曲线[一点通]解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e＝＝.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方程＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________．解析：由＝|x＋y－1|得＝.可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e，M是AB中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，则d＝，R＝＝＝.当圆与准线相离时，R＜d，即＜，∴0＜e＜1，圆锥曲线为椭圆．当圆与准线相切时，R＝d，∴e＝1，圆锥曲线为抛物线. 用圆锥曲线的统一定义求轨迹[例2]已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹．[思路点拨]此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析]法一：由圆锥曲线的统一定义知：P点的轨迹是一椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，∴e＝＝，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为＋＝1.法二：由题意得＝.整理得＋＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．[一点通]解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P(x，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2，求动点P的轨迹．解：如图：作PM⊥x轴于M，延长PM交直线y＝－2于点N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y(y>0)．∴动点P的轨迹是抛物线．4．在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，直线l：x＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍．设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M(x，y)，则有MF1＝，点M(x，y)到直线l的距离d＝|x－(－2)|＝|x＋2|，故＝|x＋2|，化简得x2－y2＝8.故动点M的轨迹方程为x2－y2＝8.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为x＝±2，此时d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.当切线m斜率存在时，设切线m：y＝kx＋t，代入x2－y2＝8，整理得：x2－(kx＋t)2＝8，即(1－k2)x2－2tkx－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化简得t2＝8k2－8.又由kx－y＋t＝0，d1＝，d2＝，d1d2＝＝＝8,8为常数．综上，对任意切线m，d1d2是常数. 圆锥曲线统一定义的应用[例3]已知定点A(－2，)，点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．[思路点拨]利用统一定义把MF转化为点M到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解．[精解详析]∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2.∴离心率e＝.A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，则＝e，即MF＝ed＝d，右准线l：x＝8.∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A、M、K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2，)．[一点通]圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应．5．已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，M为双曲线上的动点，则MA＋MF的最小值为______．解析：双曲线离心率e＝，由圆锥曲线统一定义知＝e(d为点M到右准线l的距离)，右准线l的方程为x＝，显然当AM⊥l时，AM＋d最小，而AM＋MF＝MA＋de＝MA＋d.而AM＋d的最小值为A到l的距离为9－＝.答案：6．若点P的坐标是(－1，－3)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点Q在椭圆上移动，当QF＋PQ取得最小值时，求点Q的坐标，并求出最小值．解：在＋＝1中a＝4，b＝2，c＝2，∴e＝，椭圆的右准线l：x＝8，过点Q作QQ′⊥l于Q′，则＝e.∴QF＝QQ′.∴QF＋PQ＝QQ′＋PQ＝(QQ′＋PQ)．要使QQ′＋PQ最小，由图可知P、Q、Q′三点共线，所以由P向准线l作垂线，与椭圆的交点即为QF＋PQ最小时的点Q，∴Q的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q的横坐标为x＝2.∴Q为(2，－3)，此时QF＋PQ＝. 圆锥曲线的准线、离心率的求解及应用[例4]求椭圆＋＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨]由方程确定a、c，从而求e与准线，由椭圆的准线、离心率再确定双曲线的实轴、虚轴长，求出双曲线的方程．[精解详析]由＋＝1知a＝5，b＝4，c＝3.e＝＝，准线方程为y＝±.设双曲线虚半轴长为b′，实半轴长为a′，半焦距为c′，离心率为e′，则e′＝＝，又∵＝＝.解得：a′＝，c′＝，b′2＝.∴双曲线方程为－＝1.[一点通]此类问题首先判断该圆锥曲线是什么曲线，然后化成标准方程，确定出a、b、c、p，进而求离心率和准线方程．7．(天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y2＝8x的准线x＝－2过双曲线的一个焦点，所以c＝2，又离心率为2，所以a＝1，b＝＝，所以该双曲线的方程为x2－＝1.答案：x2－＝18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的实轴长比椭圆的长轴长短8，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是5∶1，求椭圆和双曲线的方程，并求其相应的准线方程．解：设a′，b′分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长，依题意有解得所以椭圆的短半轴长b＝＝，双曲线的虚半轴长b′＝＝3.故椭圆和双曲线的方程分别是＋＝1和x2－＝1.椭圆的准线方程为x＝±，双曲线的准线方程为x＝±.1．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是：(1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．2．圆锥曲线共同特征的应用：设F为圆锥曲线的焦点，A为曲线上任意一点，d为点A到定直线的距离，由＝e变形可得d＝.由这个变形可以实现由AF到d的转化，借助d则可以解决一些最值问题．[对应课时跟踪训练(十四)]1．双曲线2x2－y2＝－16的准线方程为________．解析：原方程可化为－＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝2.∴准线方程为y＝±＝±＝±.答案：y＝±2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．解析：PM＋PN最大值为PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值为PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．到直线y＝－4的距离与到A(0，－2)的距离的比值为的点M的轨迹方程为________．解析：设M(x，y)，由题意得＝.化简得＋＝1.答案：＋＝14．(福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.答案：－15．已知椭圆＋＝1内部的一点为A，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋MF的最小值为________．解析：设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知＝，右准线方程为x＝＝2.∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2－1.答案：2－16．已知椭圆＋＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P到两准线的距离及点P的坐标．解：设P(x，y)，左、右焦点分别为F1、F2.由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，准线方程为x＝±.∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.设P到两准线的距离分别为d1、d2，则由＝＝e＝，得d1＝，d2＝.∴x＋＝x＋＝，∴x＝－.代入椭圆方程，得y＝±.∴点P的坐标为或.7．已知平面内的动点P到定直线l：x＝2的距离与点P到定点F(，0)之比为.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？解：(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，＋＝1，＋＝1.k1·k2＝·＝＝＝－，为定值．8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，P是左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝x，问是否存在点P，