旧教材适用2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第4讲随机事件的概率

第4讲随机事件的概率1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有eq\o(□,\s\up3(01))稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的eq\o(□,\s\up3(02))概率，记作eq\o(□,\s\up3(03))P(A)．(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而eq\o(□,\s\up3(04))概率是一个确定的值，因此，人们用eq\o(□,\s\up3(05))概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用eq\o(□,\s\up3(06))频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：eq\o(□,\s\up3(07))0≤P(A)≤1．②必然事件的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up3(08))1．③不可能事件的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up3(09))0．④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up3(10))P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up3(11))1，P(A)＝eq\o(□,\s\up3(12))1－P(B)．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系若事件Aeq\o(□,\s\up3(13))发生，则事件Beq\o(□,\s\up3(14))一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)eq\o(□,\s\up3(15))B⊇A(或eq\o(□,\s\up3(16))A⊆B)相等关系若B⊇A，且eq\o(□,\s\up3(17))A⊇B，则称事件A与事件B相等eq\o(□,\s\up3(18))A＝B并事件(和事件)若某事件发生eq\o(□,\s\up3(19))当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)eq\o(□,\s\up3(20))A∪B(或eq\o(□,\s\up3(21))A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当eq\o(□,\s\up3(22))事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)eq\o(□,\s\up3(23))A∩B(或eq\o(□,\s\up3(24))AB)互斥事件若A∩B为eq\o(□,\s\up3(25))不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为eq\o(□,\s\up3(26))不可能事件，A∪B为eq\o(□,\s\up3(27))必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件eq\o(A,\s\up10(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).1．(2021·宁夏固原检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A.至多有2件次品 B．至多有1件次品C.至多有2件正品 D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又事件A为“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．2．(2022·河北邯郸高三月考)从装有2个白球和2个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件有()A.0组 B．1组C．2组 D．3组答案B解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，故①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为()A.0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.故选C.4．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B．56%C．46% D．42%答案C解析记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892则这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数).答案0.5173解析男婴出生的频率依次约是0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约是0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参加聚会的同学的人数为________．答案18解析设该班到会的女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，解得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．考向一事件的概念例1从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品.(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件.1．准确把握互斥事件与对立事件(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生.(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.1.(2021·南阳模拟)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则：①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．以上四个结论中正确的是________．答案④解析根据互斥与对立的定义，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．考向二随机事件的概率与频率例2某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10，20)，[20，30)，…，[50，60]，并整理得到如图频率分布直方图．(1)求a的值；(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．解(1)根据频率分布直方图可知10×(a＋0.005＋0.01＋0.02＋0.03)＝1，解得a＝0.035.(2)根据题意，样本中年龄低于40岁的频率为10×(0.01＋0.035＋0.03)＝0.75，所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率为0.75.(3)根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为15×0.1＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.05＝32.5(岁).1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义可求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．2.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部).由古典概型的概率公式，得P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.精准设计考向，多角度探究突破考向三互斥、对立事件的概率角度互斥事件的概率例3(2021·山西阳泉模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机车主获赔金额为4000元的概率.解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.角度对立事件的概率例4经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－)))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件，也不是对立事件答案C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况加上“全是男生”构成全部基本事件，且不能同时发生，故事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”互为对立事件，且是互斥事件，故选C.2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为()A．0.64 B．0.36C．0.16 D．0.84答案C解析设P(A)＝x，则P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故选C.3．(2021·西安五校模拟)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案A解析因为事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，所以概率是eq\f(7,10)的事件是事件“2张全是移动卡”的对立事件，也就是“2张不全是移动卡”即“至多有一张移动卡”．故选A.4．(2022·四川眉山车城中学模拟)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为()A．0.4 B.0.3C．0.7 D.0.6答案B解析由题意得不用现金支付的概率P＝1－0.4－0.3＝0.3.故选B.5．同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有1枚正面向上的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)答案A解析由题意知本题是一个等可能事件的概率，同时掷3枚质地均匀的硬币，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故选A.6．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A．10名 B．18名C．24名 D．32名答案B解析由题意，第二天需要志愿者完成的订单数为500＋1600－1200＝900，故需要志愿者eq\f(900,50)＝18名．故选B.7．(2021·四川绵阳诊断考试)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1答案C解析设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).8．有两张卡片，一张的正、反面分别写着数字0与1，另一张的正、反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)答案C解析将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).9．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()A．eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C．eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)(或设“甲不输”为事件A，则A可看作是“乙胜”的对立事件，所以P（A）＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)).故选C.10．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)答案A解析∵事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故选A.11．(2022·云南玉溪高三入学考试)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示：所用时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A．公路1和公路2 B．公路2和公路1C．公路2和公路2 D．公路1和公路1答案A解析通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.12．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))答案A解析由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故选A.13．(2021·河南平顶山模拟)某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出的代表是男生”的概率是“选出的代表是女生”的概率的eq\f(1,3)，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为________．答案75%解析设“选出的代表是女生”的概率为a，则“选出的代表是男生”的概率为eq\f(1,3)a，因为a＋eq\f(1,3)a＝1，所以a＝eq\f(3,4)，所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%.14．(2021·陕西榆林模拟)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件；否则不进货．将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．答案eq\f(3,10)解析商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥．记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).15．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．答案0.3解析由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为eq\f(6,20)＝0.3.16．(2022·北京第四十三中学月考)某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：①摇号的初始中签率为0.19；②当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．答案15解析因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请的好友人数为eq\f(0.71,0.05)＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率是0.5，购买乙种保险的概率是0.3，设各车主至多购买一种保险．(1)求该地一位车主购买甲、乙两种保险中一种的概率；(2)求该地一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解记A表示事件“该地一位车主购买甲种保险”；B表示事件“该地一位车主购买乙种保险”；C表示事件“该地一位车主购买甲、乙两种保险中的一种”；D表示事件“该地一位车主甲、乙两种保险都不购买”．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.18．袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12).(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求“得到的不是红球且不是绿球”的概率.解(1)从12个球中任取一个，记事件A为“得到红球”，事件B为“得到黑球”，事件C为“得到黄球”，事件D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥，由题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B＋C）＝\f(5,12)，,P（C＋D）＝\f(5,12)，,P（A＋B＋C＋D）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＋P（C）＝\f(5,12)，,P（C）＋P（D）＝\f(5,12)，,P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，))解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A＋D”，由(1)及互斥事件概率加法公式得P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,12)，故“得到的不是红球且不是绿球”的概率P＝1－P(A＋D)＝1－eq\f(7,12)＝eq\f(5,12).19．(