解答题专项提分计划四川省2023届高考数学复习专题12导数文科含解析

Page1导数（文科）1．（四川省绵阳市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．【答案】(1)极大值，极小值0(2)，的最大值为0，【分析】（1）由极值的概念求解，（2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值，【详解】（1）当时，，，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，的极大值为，极小值为，（2），，当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，当时，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，在区间上的最小值为，当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，若，在区间上的最小值为，若，在区间上的最小值为综上，令，则，故在上单调递增，可知在上单调递增，故的最大值为0，2．（四川省资阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题）已知函数．(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；(2)当时，对于任意，证明：．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）易知不在上，设切点，由导数的几何意义求出切线方程，将代入求出对应，即可求解对应切线方程；（2）构造，求得，再令，通过研究正负确定单调性，再由正负研究最值，进而得证.【详解】（1）由题，时，，，设切点，则切线方程为，该切线过点，则，即，所以或．又；；，．所以，切线方程为或；（2）设，则，令，则，可知，时，；时，，故时均有，则即在上单调递增，，因为时，则，，故在上单调递增，此时，．所以，当时，对于任意，均有．3．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若，，求a的取值范围.【答案】(1)的极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）由得，，求导函数得，根据，判断函数单调性即可得的极值；（2）求导函数可得，分别讨论当时，当时，函数的单调性，确定是否满足，恒成立，从而可得a的取值范围.【详解】（1）解：若，则，所以，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，当时，取得极小值为，无极大值.（2）解：由题得，，由于，则当时，可知，函数单调递增，故时，，所以满足条件；当时，，得，则可得时，，单调递减；时，，单调递增.所以在区间上，当时，取得极小值，也即为最小值.由于，恒成立。则，即有，又，所以可得，解得，综上，a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了利用导数研究函数的单调性与极值、利用导数研究函数的最值，对于不等式恒成立问题，常见的解法有：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．4．（四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（文）数学试题）已知函数．(1)求证：；(2)证明：当，时，．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数可求得函数的单调区间，从而可证得；（2）由可得，利用导数证即可.【详解】（1）的定义域为，，由得，由得.则在上单调递减，在上单调递增，

∴，得证.（2）由（1）得，令，则，∴，∴，∴下面证明时，，令，则，在上单调递增，，时，，时，，.5．（四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题）已知函数(1)讨论的单调性；(2)若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2).【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解不等式即可作答.（2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答.【详解】（1）函数定义域R，求导得，若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增；若，恒有．即在上单调递增；若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增，所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和；当时，函数在上单调递增；当时，函数的递减区间是，递增区间是和.（2）当时，，令，因函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，则函数图象与轴有三个交点，而，由，解得或，由，解得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在时取得极大值，在时取得极小值，依题意，，解得，所以实数的取值范围为．6．（四川省内江市高中2023届零模考试数学文科试题）已知函数，(1)讨论的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．【答案】(1)单调性见解析；(2)【分析】（1）求出导函数，通过，时，求解导函数的正负，判断导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）对任意恒成立，等价于恒成立.构造函数求出导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可．【详解】（1）解：，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.令，则，则当时，，当时，，又，在上单调递减，在上单调递增，，，即的最大值为.【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为或来求.7．（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）(且)．(1)当时，求经过且与曲线相切的直线；(2)记的极小值为，求的最大值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据切线方程中，切点处的导数值等于两点间的斜率，即可求出，进而可求切线方程.（2）利用导数确定函数的单调区间，进而得到极值，通过观察极值的表示式，构造函数，求导即可求最大值.（1）函数的定义域为，，当时，，设切点为，则，解得，故，切线方程为．（2）由有极小值，故存在零点，令得的极值点，故，当时，，递减，当时，，递增，因此的极小值，令，则，，，令，则，当时，，递增，当时，，递减，故在处取极大值，同时也是最大值，，所以的最大值为1．8．（四川省泸县第二中学2022届高考仿真考试（一）文科数学试题）已知函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)设函数，求的零点个数．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是，；极大值，极小值；(2)只有一个零点.【分析】（1）利用导数研究的单调区间和极值即可.（2）将问题转化为求的零点情况，利用导数研究其区间单调性，结合零点存在性定理判断各区间的零点个数，即可得的零点个数．（1）令，解得或，当x变化时和变化情况如下表：x+0-0+递增递减递增所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，；在处取得极大值，在处取得极小值（2）由，令，等价于．设，则当时恒成立，在上单调递增．又，故存在使得，当时则递减；当时，则递增；当时，递增，又，所以在上有一个零点．在无零点，综上，函数在定义域内只有一个零点．9．（四川省成都市2022届高三第三次诊断考试文科数学试题）已知函数，其中．(1)求函数的单调区间；(2)设函数在区间上的最大值为，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，再对分三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由区间的定义可得，即可求出的取值范围，再分和两种情况讨论，分别求出函数的最大值，即可得证；(1)解：因为，，所以．①若，当时，；当或时，．即在上单调递减，在和上单调递增；②若，恒有．即在定义域上单调递增；③若，当时，；当或时，．即在上单调递减，在和上单调递增；综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．(2)解：由题意，有，∴．由（1）知①当时，在上单调递增．∴．②当时，在上单调递减，在上单调递增．由，，∴；又．∵，∴．∴．∴．综上，有．10．（四川省凉山州2022届高三第三次诊断性检测数学（文科）试题）已知函数（，e为自然对数的底数）．(1)若在处的切线与直线平行，求的极值；(2)若，求证：．【答案】(1)极小值，极大值(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由导数的几何意义得，求出值，然后确定的解，正负，得单调性、极值；（2）设，再设，得新函数，由导数求出其最小值为0，从而证明不等式成立．(1)

则，处的切线与平行，即

即．．由得，由得或，在为单调递减，在为单调递增，在处取得极小值，在处取得极大值.(2)设，设，设，，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，．，，成立．11．（四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题）设函数(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）依题意要证，即证，令、，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最值，从而得证；(1)解：因为，定义域为，所以.①当时，，故在上单调递增；②当时，若，则，若，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)证明：当时，要证，即证.令，则∵当时，；当时，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.令，则∵当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴.∴又∵与取等时的值不同，∴，即对成立，得证.12．（四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷）已知函数．(1)求关于x的不等式的解集；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，然后分，和三种情况求解即可，（2）令，利用导数可得在上为增函数，又由于，从而可的单调性可证得结论(1)由题意得，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上，不等式的解集为(2)证明：令，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以13．（四川省德阳市2022届高三“三诊”数学（文科）试题）已知函数(1)判定函数的单调性；(2)求证：.【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）直接利用导数求函数的单调性；（2）令求出；利用第（1）问的结论求出，即得证.(1)解：由题得，当时，，所以函数在上单调递增；当时，令所以令所以所以此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)证明：令，由得；由得.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以.由（1）得当时，函数在上单调递增，所以，所以得证.14．（四川省泸州市泸县第四中学2022届高三三诊模拟考试文科数学试题）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.(1)求函数的极值；(2)证明：.【答案】(1)极小值为，没有极大值(2)证明见解析【分析】（1）先解出，代入函数解析式，求导即可求解（2）由（1）可得，可将所要证明的不等式转化为(需验证等号不同时成立)，构造函数，求导，研究其最值即可证明(1)，则，，故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值.(2)证明：等价于，由（1）可得(当且仅当时等号成立)①，所以，故只要证明即可，(需验证等号不同时成立)设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当时，.15．（四川省攀枝花市2022届高三第二次统一考试文科数学试题）已知函数在点处的切线方程是.(1)记的导函数为，求的最大值；(2)如果，且，求证.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合（1）中的结论进行证明即可.(1)由题意：，则，又，得，解得：；所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为；(2)由（1）可知，，所以在上单调递减；与，可得：，故只需要证明：，化为，，即因为在区间上单调递减，而，则，得证不等式成立.【点睛】关键点睛：利用分析法证明是解题的关键.16．（四川省宜宾市2022届高三第二次诊断测试数学（文）试题）已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）分析可知，由可得，则直线与曲线在内的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，，所以，，，因此，曲线在处的切线方程为，即.（2）解：①当时，，则在上单调递减，不合题意；②当时，由可得，令，其中，则直线与曲线在内的图象有两个交点，，令，可得，列表如下：增极大值减所以，函数在区间的极大值为，且，如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与曲线在内的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.17．（四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学（文）试题）已知函数．(1)求的最小值；(2)已知，证明：；(3)若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数判断的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可，再利用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数与变量分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出的取值范围.【详解】（1）因，则，令，得，又时，，函数在上单调递减；时，，函数在上单调递增；即函数在处取最小值，即所以的最小值为0．（2）由（1）小题结论可知，当且仅当时等号成立，则时，即所以所以不等式成立.（3）由题可知，恒成立等价于不等式恒成立，令，则命题等价于，由（1）知，，即有，当且仅当时等号成立，所以当，即时能取等号，所以，即的取值范围为．【点睛】方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.18．（四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学（文科）试题）已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）构造，利用导数的性质判断的单调性进行求解即可；（2）构造，利用导数的性质判断的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可.【详解】（1）记．则恒成立，即．当，当，在上单调递增，在上单调递减．．解得．实数的取值范围是；（2）记．在上单调递增．令，则，所以即在上单调递增．由，知．．即，当单调递减；当单调递增．，由（*）式，可得．代入式，得．由（1）知，当时有，故．．由．故，即，原不等式得证．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．（四川省德阳市2023届高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知函数，．(1)判断函数的单调性；(2)证明：．【答案】(1)在上单调递减，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，构造函数利用导数判断函数的单调性，从而判断原函数导数的正负，进而即得；（2）将不等式转化为，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.【详解】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：因为函数，，所以，设，则，所以在区间上单调递减，故，即，所以函数在区间上单调递减；（2），，先证时，，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以，即；再证时，，即，设，则，所以在上单调递增，所以，所以；综上，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20．（四川省资阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题）已知函数．(1)若单调递增，求a的取值范围；(2)若有两个极值点，其中，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求到得，令分离参数得，设，利用导数求得，即可求解a的取值范围；（2）有两个极值点，即有两个不相等实数根，由（1）画出大致图象，确定且，构造函数，利用导数证明，同理构造，利用导数证明（此两步意为“搭桥”），设方程根为，则，同理设方程解为，则，可得，由即可求证.【详解】（1）由得，由单调递增，则，得，设，则，可知时，，单调递增；时，﹐单调递减，则时，取得极大值，也即为最大值，则．所以，a的取值范围是．（2）由题，函数有两个极值点，则即有两个不相等实数根，由（1），可知时，取得极大值，且时，时，故有两个不等实根时，且．过点与的直线方程为，构造函数，，令，则，则时，，即单调递减；时，，即单调递增，所以时，极小值为，所以时，，则，即，故当时，，设方程根为，则．构造函数，设，可知时，则，所以时，，设方程解为，则．于是有，如图，所以，证毕．【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，由极值点分布证明不等式恒成立.利用单调性求参数范围常采用分离参数法，证明不等式恒成立常采用构造函数法、此题中搭建和思维难度大，有化曲为直的妙处.21．（四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试文科数学试题）已知函数.(1)若最小值为0，求的值；(2)，若，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性得函数的最小值，由最小值得参数值；（2）求出，再对求导，确定的最小值大于0，从而确定的单调性，然后由，得出，再由（1）得出即可证．【详解】（1）由得，且当时，单调递减，当时，单调递增.所以的极小值也是最小值为.（2）证明：由得.设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增.当时，，即在区间单调递增.若，则当且仅当时，.由（1）知，.，即.【点睛】用导数证明不等式的方法：（1）利用导数求得的最小值和的最大值，由证明结论；（2）引入新函数，由导数求得的最小值，由得证．22．（四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题）已知函数，，其中为自然对数的底数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)令，求证：对，有成立；(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数的最小值，利用基本不等式求的最大值，由此证明；（3）由已知可得在上恒成立，设，则在上恒成立，利用导数求函数的最大值，可求的取值范围．【详解】（1）因为，所以，所以，，所以曲线在点处的切线的斜率为2，故切线方程为，即；（2）因为，当时，，故在上单调递增，所以，又，因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，即当时，，由于的最小值等于的最大值，且不是在同一点取得，故有成立（3）由不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，得在上恒成立，令，由(2)在上单调递增，所以，则在上恒成立，在上恒成立，令，则在递减，所以实数的取值范围是【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.23．（四川省雅安市2023届高三零诊考试数学（文）试题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若时，求证：．【答案】(1)极大值；极小值0(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得的的单调区间，进而求得的极值.（2）利用多次求导的方法求得在处取得极大值，且极大值，从而证得成立.【详解】（1）当时，，则，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增．所以，时，取得极大值；时，取得极小值．（2）由得，，．令，则，又设，则，则时，即单调递增；时，即单调递减，所以在处取得极大值，且极大值．因为时，所以，所以，即单调递减，又，则时，，单调递增，时，，单调递减，可知在处取得极大值（也即是最大值），且极大值，所以．【点睛】利用导数研究函数的最值，若一次求导无法求解出时，可考虑多次求导的方法进行求解.求解过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.24．（四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（文）试题）已知函数．(1)讨论单调性；(2)若时，恒成立，求能取到的最大正整数．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数的导函数，再对分与两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）令，求出函数的导函数，当时恒成立，当时，求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值，依题意恒成立，令，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据特殊点的函数值，计算可得；(1)解：因为定义域为，所以，当时，所以在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在上单调递减，在单调递增.综上：当时，，在上单调递增·当时，在上单调递减，在单调递增.(2)解：依题意对任意的恒成立，令，则，因为，所以，当时，，所以函数在上递增，所以恒成立，所以成立，当时，时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，对任意的恒成立，所以恒成立，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，又，所以使成立的最大整数为7，综上所述，a能取到的最大正整数值为7.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．25．（四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2），，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号，分别讨论这两种情况即可求出a的取值范围.（1）由题意知：，当时，因为，所以在上恒成立，所以在上是减函数；当时，由得：，所以，所以在上是增函数，在上是减函数.（2），，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号；（i）为单调减函数，在上恒成立，则，解得；（ii）的极值同号时，设为极值点，则，有两个不同的解，则，且有，所以，同理，所以，化简得：，即；当，，，有且只有一个极值点.综上：a的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．26．（四川省达州市2022届高三第二次诊断性测试数学（文科）试题）已知.(1)当时，求曲线上的斜率为的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令，将问题转化为当时，恒成立；①当时，由导数可证得单调递增，由可求得范围；②当时，利用零点存在定理可说明存在，并得到单调性，知，由此可解得的范围，根据可求得范围.(1)当时，，；令，解得：，切点坐标为，所求切线方程为：，即；(2)令，则原问题转化为：当时，恒成立，即恒成立；，，则当时，，在上单调递增，；①当，即时，，在上单调递增，，解得：，；②当，即时，，当时，；，使得，即，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，解得：，即，又，，令，则，当时，，在上单调递减，，即；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围.27．（四川省眉山市2022届高三第二次诊断性考试数学（文）试题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若a为整数，当时，，求a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率及切点即可求解答案；（2）根据导函数分子部分的最小值与零比较分类讨论，分别分、、讨论即可.(1)当时，，所以，又因为，其中，则在点处的切线斜率，所以切线方程为(2)由题知，其中，设，则，可知为上的增函数，则，所以为上的增函数，则.①当，即时，，即，所以为上的增函数，则，由于为整数，可知时，恒成立，符合题意.②当时，，，则的最小值为，又，由于为上的增函数，则存在使得（即），当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，则，其中，令，则，当时，，在上单调递减，则，即.所以也符合题意.③当时，，由于为上的增函数，则存在实数，且，使得，即，故为上的减函数，则当时，，故不符合题意，舍去.综上所述，的最小值为.【关键点点睛】求切线的关键是求斜率与切点坐标，解决导数中的恒成立问题，一般是通过研究函数的单调性，再通过单调性确定函数的最值再建立不等式从而解决问题.28．（四川省广安市2023届高三零诊文科数学试题）已知函数，函数，函数，记的最大值为M，的最小值为N．(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)求的值．【答案】(1)单调递增区间为，无单调减区间；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得；（2）利用导数及零点存在定理可得存在，使得，进而可得，再通过构造函数利用函数的单调性即得；（3）利用导数可求函数的最小值为，利用函数的单调性结合条件可得，进而可得.（1）由，可知函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，即函数的单调递增区间为，无单调减区间；（2）由可知，的定义域为，因为，，所以在单调递减，，由（1）知，即所以存在，使得，即，当，，单调递增，当，，单调递减，所以在处取得唯一极大值，也是最大值，所以，令，，则，单调递增，故，所以；（3）由，可知函数的定义域为，，，所以在单调递增，，，所