基于保角变换的节块变换在几何中的应用

基于保角变换的节块变换在几何中的应用

在过去的20年中，二维声学计算方法得到了广泛应用，尤其是先进的分块法的发展和应用。Lawrence等［１－２］成功发展了矩形节块格林函数方法(NGFM),并通过大量例题验证了理论及程序的正确性和高效性。随着采用六角形几何的快堆的发展和俄罗斯VVER型压水堆的应用,六角形节块法的研究也日益得到重视,将先进矩形节块法推广到六角形节块有非常重要的意义。Chao等［３］研制的六角形节块扩散程序ANC-H是目前公认的国际上精度最高的六角形节块程序。程序采用保角变换思想将六角形几何变换为矩形几何。本文采用该保角变换将六角形节块变换为矩形节块,对变换后的矩形节块扩散方程进行横向积分。并应用第二类边界条件的格林函数法,建立六角形节块各表面净中子流为未知量的空间耦合方程,采用剩余权重源迭代方法进行求解。研制三维多群六角形格林函数堆芯程序NACK,采用大量基准题对其进行验证,并与国际上相应程序的计算结果进行比较。1角形节块扩散方程保角变换是一种特殊映射,它保持任一点邻域内变换前后的伸缩性和旋转角不变,并保持角的定向。存在六角形到矩形的保角变换因子f［３］。图1示出变换前后对应点的关系,其中a和b为矩形长和宽。拉普拉斯算子在保角变换下形式不变,即:其中:ue788为中子通量密度,cm－２·s－１;x、y和u、v分别为六角形、矩形节块所在直角坐标系内的横、纵坐标。记。三维六角形节块扩散方程(式(2))经保角变换为矩形节块扩散方程(式(3))。其中:g为能群数,能群总数为G;фkg(x,y,z)、фkg(u,v,z)分别为六角形(x,y,z)点及保角变换对应矩形(u,v,z)点的第g群中子通量密度,cm-2·s-1;Dkg为节块k第g群的扩散系数,cm;Σkg、Σkfg、Σkgg′分别为节块k第g群的移出截面、裂变截面、第g′群到第g群的散射截面,cm-1;ν为每次裂变释放的中子数;χg为中子裂变谱;keff为有效增殖因数。六角形节块面平均净中子流密度J珚(简称面净流,cm－２·s－１)和变换后矩形节块面净流有如下关系:式中:R为六角形边长;J珚ｓ(s=1,2,…,6)为六角形节块编号为s的面平均净流(面的编号示于图1);为矩形节块u=±ａ/2的两个面平均净流,为矩形节块v=0、b的两个面平均净流,cm－２·s－１。2节块k第g群横向泄漏项的剩余权重对式(3)沿v、z两个方向积分,得到横向积分方程:式中:фｋｇｕ(u)为节块k第g群横向积分后的偏中子通量密度;hｋ为节块k在z方向的高度;b为六角形节块变换到矩形节块的宽度;Lｋｇｕ(u)为横向泄漏项,表示节块k第g群在与u方向垂直的另外两个方向(v、z方向)上的中子泄漏。引入满足第二类边界条件的格林函数Gｋｇｕ(u,u０),按矩形格林函数方法,得到格林函数积分方程(式(11)),并由此得到净中子流耦合方程(式(12))。其中,为六角形节块k第g群u方向两个面的面净流和不连续因子。将式(3)在节块k的体积Vｋ上积分,得到六角形节块中子平衡方程(式(13)),ue788为六角形节块k第g群的平均通量。采用剩余权重法求解上式,将偏中子通量密度和横向泄漏项在节块内用二阶Legendre正交多项式Pｎ－１(u)(n=1,2,3)展开,有:其中,фｋｇｕｎ、Lｋｇｕｎ(n=1,2,3)为节块k第g群偏中子通量密度和横向泄漏项的展开系数。对于三维问题,径向横向积分对应的横向泄漏分为径向横向泄漏LｇｕｋＲ(u)和轴向横向泄漏Lｇｕｋｚ(u)两部分,即:则中子源项为:将中子源项和泄漏项展开式代入式(12),得到[GQ±]ｋｇｕ的求解公式;将偏通量、源项和泄漏项展开式代入式(11),得到偏通量展开系数求解公式。式(11)、(12)以及式(13)构成一组完备的求解公式,通过源迭代方法求解,得出节块界面平均净中子流、节块内中子通量展开系数、节块平均通量等关于kｅｆｆ的物理量。3数值证明3.1基准测试函数和有效增殖因数分布不带反射层的二维VVER-1000基准题［４］的堆芯有8圈燃料组件,全堆芯共插25束控制棒,堆芯1/6旋转对称,组件的对边距为23.6cm,燃料组件外的反射层未参与计算。采用两种反照率β=0.6和0模拟“真实边界”和“真空边界”。图2分别示出在β=0.6和0两种情况下,NACK程序计算所得的有效增殖因数和堆芯归一化功率分布(参考值由细网差分程序DIF3D-FD［４］计算得到)。表1为各程序对该基准题计算结果的比较。其中,AFEN程序由Cho等［５］研制,采用解析基函数节块展开法;HEXNOD23程序由Grundmann［６］开发,也采用解析节块法,将中子通量密度展开成三角函数和贝塞尔函数乘积;SIXTUS-2程序是Arkuszewski［７］基于对称性原理开发的六角形解析节块程序。计算结果显示,NACK计算结果良好,与ANC-H精度相当。3.2堆芯回收数对功率分布的影响三维VVER-440基准题［８］是二维VVER-440基准题的扩展。堆芯高度为250cm,在堆芯的顶部和底部分别加25cm厚的反射层。另外,堆芯内的所有控制棒均上提到堆芯中部。堆芯外边界全部为真空边界。图3为NACK程序计算所得的有效增殖因数和堆芯归一化组件功率分布(参考值由细网差分程序DIF3D-FD［４］计算得到)。表2为针对该基准题各程序计算结果的比较,可看出,NACK程序与这些程序的计算精度相当。其中,GTDIF-H是张少泓［８］利用六角形几何对称性和群论方法研制的节块法程序,GTDIF-H数据来自文献,ANC-H和AFEN的数据来自文献。3.3堆芯的布置及计算带不连续因子的二维基准题［１０］有151个燃料组件,带水反射层,组件对边距22.4cm。燃料组件含有UO２和MOX燃料。该堆芯的布置为1/12反射对称,采用零通量密度边界条件。图4为程序NACK计算所得的kｅｆｆ和堆芯功率分布(阴影部分为MOX燃料)。其中,参考值是细网差分程序VENTURE的计算结果,是将每个六角形节块剖分成1352个子节块计算得到的。表3列出各程序计算结果的比较(表中AFEN、HEXMED数据取自文献)。HANDF［１０］为带不连续因子的解析节块法。4稳态扩散程序nack本文根据保角变换思想和格林函数法