证明不等式基本方法

1/1证明不等式的基本方法12.4证明不等式的基本方法

T懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒ttMKMMM■■座用它们证明一些简厲的不等式.

KiffM破立，探究性问題结合,ttaAMML厲中档題團L

E基础学问过关

［学问梳理］

1.证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.三个正数的算术-几何平均不等式

(1)定理：假如a,b,c€R+那么a+?+1需辰，当且仅当a=b=c时，等号a+b+cQ

成立.即三个正数的算术平均3不小于它们的几何平均Vabc.

(2)基本不等式的推广

对于n个正数ai,a2,,,a，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a〔+汁‘+

》^a1a2,—，当且仅当a1=a2=,=an时，等号成立.

n

3.柯西不等式

(1)设a,b,c,d均为实数，则(a2

+b2

)(c2

+d2

)>(ac+bd)2

，当且仅当ad=bc

时等号成立.

fn

「nJ「n

'

⑵若ai,b(i€N*)为实数，贝则1815Al^abi2

,当且仅当I"八=

1

丿T=1

丿

(当ai=0时，商定bi=0,i=1,2,,,n)时等号成立.(3)

柯西不等式的向量形式：设aB为平面上的两个

向量，则|如3》|a?(3当

且仅当a,3共线时等号成立.

善纲解谨

君向猜测b^_b2_

a1a2

bn=a；

［诊断自测］1概念思辨

(1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时，假设为“a,b,c全不为0”.(

)

⑵若x^2y>1，则x+2y>x—y.

(3)|a+b|+|a-b|>|2a|.

(4)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.(

)

答案(1)x(2)x⑶V⑷V

2.教材衍化

ba

(1)(选修A4—5P23T1)不等式：①x?+3>3x;②a?+b?》2(a—b—1);③舌+2,

其中恒成立的是

A.①③

B.②③

C.①②③

D.①②答案D

解析由①得x2+3—3x=X—22+4>0,所以x2+3>3x;对于②，由于a2+b2

—2(a—b—1)=(a—1)2+(b+1)2》0,所以不等式成立；对于③，由于当

2

a—

bba飞―3+2+2+2=9,

1

当且仅当a=b=c=§时，等号成立.

ab2(x>1);②|a—b|v|a|+

|b|;ba

③5+b》2(abz0):④|x—1|+|x—2|>1,其中恒成立的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4答案C

1

解析logx10+lgx=灵+lgx>2(x>1)，①正确.

ab1恒成立，④正确，

综上①③④正确.故选C.

(2)设a,b,m,n€R，且a2+b2=5,ma+nb=5,则寸m2+n2的最小值为________.

答案5

解析由柯西不等式得(ma+nb)?w(m?+n2)(a+b2),即m2+n2A5"；m2+n2A5,二所求最小值为5.

E经翼题型［巾尖

题型1综合法证明不等式

典例(2023安徽百校模拟)已知a>0,b>0,函数f(x)=|2x+a|+2x—-+1的最小值为2.

(1)求a+b的值；

(14、

(2)求证：a+log3a+bA3—b.

应殛】(1)当肯定值符号中x的系数相同时，利用肯定值不等式的性质消去x

14\14'

即可；(2)利用a+b=1转化为如a+(a+b)a+b求解.

解(1)由于f(x)=|2x+a|+|2x-b|+1>|2x+a—(2x—b)|+1=|a+b|+

1,当且仅当(2x+a)(2x—b)0,b>0,所以|a+b|=a+b,

所以f(x)的最小值为a+b+1=2,所以a+b=1.

(2)证明：由(1)知，a+b=1,

141b4alb4a

crnr

所以a+4=(a+b)&+b卜1+4+a+沪5+2乂47=9，

b4a12

当且仅当b="b"且a+b=1,即a=3b=§时取等号.

14)

所以logs+b尸logs9=2,

(14、(14、

所以a+b+log

a+b》1+2=3,即卩a+log3a+》3—b.

3

方法技巧

综合法证明不等式的方法

1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.

2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要留意性质成立的前提条件.

冲关针对训练

(2023浙江金华模拟)已知x,y€R.

113

(1)若x,y满意|x—3y|2x3y+8xy3.

证明(1)利用肯定值不等式的性质得

111〔1c1〕3

|x|=5【|2(X—3y)+3(x+2