电磁学中的高斯定理

电磁学中的高斯定理

高斯定理是电磁学中非常重要的基本理论之一。现在，在许多物理著作中，力线的概念被证明是高斯定理的。换言之，引入力线的数密度定义为nddsndns，电子线的数密度和磁子线的数密度对应于场的强度和磁感应强度，即ne和nb。这种关系显然是不确定的原因之一：由于两个单元的不同，无法平等。原因2：当相较大时，需要在sd表面上的电通量和磁通量为dcedn、dm=bdn，这两个单元的左、右单位和值范围是不同的，不可能相同。第三个原因是，n、e和b是精确定义的变量，不能严格定义它们之间的关系。在这个问题上，本文从数学的角度给出了严格的证明方法，并讨论了力线的数密度与电极强度和磁感应强度之间的关系。1严格的数学证明方法1.1静电场的高斯定义(1)电通量的计算点电荷q的电场强度为E=14πε0qr3r(1)E=14πε0qr3r(1)球面的电通量为∳SE⋅dS=∳S14πε0qr3r⋅dS=q4πε0r2∳SdS=q4πε0r24πr2=qε0(2)∳SE⋅dS=∳S14πε0qr3r⋅dS=q4πε0r2∳SdS=q4πε0r24πr2=qε0(2)(2)rcdxdy3的高斯公式闭曲面S的电通量为∳SE⋅dS=∳Sq4πε0r3r⋅dS=q4πε0∳S1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0∳S1r3xdzdy+1r3ydxdz+1r3dxdy(3)根据高等数学中的高斯公式∳SΡdydz+Qdxdz+Rdxdy=∭V(∂Ρ∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz(4)并考虑到Ρ=xr3,Q=yr3,R=zr3在S内有连续一阶的偏导数,故式(3)可以用高斯公式计算.将式(3)代入式(4)中得∳SE⋅dS=∳Sq4πε0r3r⋅dS=q4πε0∳S1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0∳S1r3xdzdy+1r3ydzdx+1r3dxdy=q4πε0∭V[∂(xr3)∂x+∂(yr3)∂y+∂(zr3)∂z]dxdydz=0(5)(3)点电荷q在闭曲面上的电通量在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辐助球面S1,其法向朝内,根据(2)可知点电荷q在闭曲面S+S1上的电通量为零,即∳SE⋅dS+∳S1E⋅dS=0∳SE⋅dS=-∳S1E⋅dS=-∳S2E⋅dS=qε0(6)其中式(6)中S1和S2的大小相等,法向相反.(4)静电场的高斯定理设闭曲面内的点电荷为q1,q2,q3……qn;闭曲面外的点电荷为qn+1……则根据上述讨论可得∳SE⋅dS=∳S∑Ei⋅dS=∑∳SEi⋅dS=n∑i=1qiε0(7)这就是静电场的高斯定理.1.2高斯定义(1)感应强度的磁通量由磁通量的定义和毕奥-萨法尔定律可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为∳SdB⋅dS=∳Sμ04πΙdl×rr3⋅dS=μ0Ι4π∳Sr×dSr3⋅dl因为r//dS,所以∳SdB⋅dS=0(8)(2)sdb的由来电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为∳SdB⋅dS=∳Sμ04πΙdl×rr3⋅dS因为r=xi+yj+zk,并设dl=dlk,则dl×r=-ydli+xdlj代入原式得∳SdB⋅dS=∳Sμ04πΙdl×rr3⋅dS=μ0Ιdl4π∳S-yr3dydz+xr3dxdz同理根据高斯公式可得∳SdB⋅dS=0(9)(3)ue104sdbds以此类推,在闭曲面S内,以电流元为球心作一辅助球面S1,因为∳SdB⋅dS+∳S1dB⋅dS=0所以,ue104SdBdS=-ue104S1dB·dS=0(10)(4)电流在封闭的内部和外部所有的电流元在闭曲面上的磁通量为∳SB⋅ds=∳S(∳LdB⋅dS=∳L(∳SdB⋅ds)=0(11)这正是静磁场的高斯定理.1.3c与btr3的含量关系(1)变化的磁场元∂B∂tdV产生的电场涡旋电场的环路定理为∳LE⋅dl=-∫S∂B∂t⋅dS,而磁场的环路定理为ue104LH·dl=∫Sδc·dS两者比较,显然δc与-∂B∂t是对应的.又因为dΗ=14πΙdl×rr3=14πδcdsdl×rr3=14πdVδc×dlr3(12)所以,与式(12)比较可知,变化的磁场元产生的涡旋电场强度为dE=14π-dV∂B∂t×rr3(13)(2)高斯定理根据式(13),仿照静磁场高斯定理的证明可得涡旋电场的高斯定理表达式为∳SE⋅dS=0(14)2力线的数密度与场强的强度和磁感应强的关系2.1电力线出样品,为ds3.设在无电荷的区域内取一闭合柱面,电力线只穿过其两个底面dS1,dS2且与其垂直,其侧面积为dS3.应用电场的高斯定理∳dS1+dS2+dS3E⋅dS=0可得:∫dS1E⋅dS+∫dS2E⋅dS=0|dϕ1|=|dϕ2|E1dS1=E2dS2(15)又根据电力线得连续性得由式(15)和(16)得E1n1=E2n2(17)2.2磁力线密度与磁感强指数之关系同理可证,磁力线数密度与磁感强度大小的关系为B=kn(19)