辽宁省大连市2023届高三数学高考适应性测试一试题

高三数学第高三数学第辽宁省大连市2023届高三数学高考适应性测试（一）试题考生注意：1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共6页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数z满足，则（

）．A． B． C．2 D．3．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C． D．4．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（

）A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.5．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知三棱锥为正三棱锥，且，，点、是线段、的中点，平面与平面没有公共点，且平面，若是平面与平面的交线，则直线与直线所成角的正切值为（

）A． B． C． D．7．函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知数列的前n项和为，，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）A．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同B．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍D．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同10．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是（

）A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－111．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（

）A．设点的坐标为，，2，3，则B．设，则C．点到平面的距离为D．若G为线段上的动点，则直线与直线所成角最小为12．已知函数，下列结论中正确的是（

）A．函数在时，取得极小值-1B．对于，恒成立C．若，则D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1三、填空题（每题5分，共20分）13．若函数则________．14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．15．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：百辆）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到年销售量与年宣传费具有近似关系：以及一些统计量的值如下：372.8，4504，54.4，76.2．已经求得近似关系中的系数，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费（千元）时，年销售量__________（百辆）．16．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列.(1)求数列、的通项公式；(2)令，求数列的前项和.18．已知的内角所对边分别为，且(1)证明：；(2)求的最大值.19．中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010第二阶段30152515(1)根据表中信息，依据的独立性检验，能否认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关联？(2)已知队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于队常规赛60场比赛获胜的频率.记为队在总决赛中获胜的场数.求的分布列.附：，其中.临界值表：（）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．(1)求证：；(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．21．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.22．对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有答案第=page1414页，共=sectionpages1414页答案第=page1414页，共=sectionpages1414页数学参考答案1．B【详解】化简可得，又所以.故选：B.2．A【详解】因为，所以所以，所以．故选：A.3．A【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，又该圆过线段的中点，故，所以离心率为.故答案为：.4．A【详解】根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.故选：A.5．B【详解】由题可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii)若，在单调递增，满足题意；(iii)若，则对称轴恒成立；综上，，故选：B.6．D【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，取中点，连接，，、分别为、的中点，则，所以，同理，所以异面直线和所成角即为或其补角.取中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以.在中，，，所以.所以直线和所成角的正切值为，故选：D.7．A【详解】如图假设，线段与函数的图像有5个交点，则，所以由分析可得，所以，可得，因为所以，即，所以是的对称轴，所以，即，，所以，可令得，所以，当时，令，则，作图象如图所示：当即时，当即时，，由图知若，与有两个交点，则的取值范围为，故选：A8．A【详解】由，，得，所以，，所以，即，所以，所以，所以，，故，，所以.故选：A.9．BD【详解】对于A，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∴小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A错误；对于B，设2018年收入为a，∵相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∴2021年收入为：，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用为，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为，∴小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B正确；对于C，设2018年收入为a，则2021年收入为：，故C错误；对于D，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D正确．故选：BD．10．ACD【详解】由题意令得，A正确；令得，所以，B错；令得，C正确；由题意均为正，均为负，因此a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|，D正确．故选：ACD．11．ACD【详解】正方体棱长为2，面对角线长为，由题意，，，，旋转后，，，，，，，，，，，，旋转过程中，正方体的顶点到中心的距离不变，始终为，因此选项A中，，2，3，正确；，设，则，，，则存在实数，使得，，，，∴，B错；，，设是平面的一个法向量，则，令，得，又，∴到平面的距离为，C正确；，设，，，，令，则，时，，递增，时，，递减，∴，又，，所以，即，，夹角的最小值为，从而直线与直线所成角最小为，D正确．故选：ACD．12．BCD【详解】，∴上，即上递减，则，∴A错误，B正确；令，则在上，即递减，∴时，有，C正确；，则等价于，等价于，令，则，，∴当时，，则递增，故；当时，，则递减，故；当时，存在使，∴此时，上，则递增，；上，则递减，∴要使在上恒成立，则，得.综上，时，上恒成立，时上恒成立，∴若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1，正确.故选：BCD13．1【详解】解：，，则.故答案为：1.14．【详解】解：因为以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，所以，所以在直角三角形中，因为，所以，所以，故答案为：.15．780.6【详解】因为54.4，4504，所以，，所以，当时，，所以年销售量780.6故答案为：780.6.16．【详解】根据题意,点为的费马点，的三个内角均小于,所以，设，所以在和中，，且均为锐角，所以所以由正弦定理得：，，所以，，因为所以，因为，所以，所以，所以故实数的最小值为.故答案为：17．(1)，.(2)【分析】（1）由判断出数列为等比数列，求出的通项公式；利用累加法求出的通项公式；（2）先得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）当时，由可得：；当时，由①，②则得：所以.因为，，所以数列为等比数列，所以.因为，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列，所以，，，……，累加得：，所以.n=1成立综上所述：，.（2）.所以数列的前项和所以.18．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.【详解】（1），，，由正弦定理可得（2）由（1）知，则由余弦定理可得，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，由知，为锐角，所以的最大值为，的最大值为19．(1)不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关(2)见解析【分析】（1）写出列联表，根据公式求出，对照临界值表判断即可；（2）根据题意得到队除第五场外，其他场次获胜的概率为，然后分情况求概率，写分布列即可.【详解】（1）根据题意可得列联表如下：客场主场合计获胜场次202545负的场次10515合计303060，所以不能认为比赛的“主客场”与“胜负”有关，即认为比赛的“主客场”与“胜负”无关.（2）由题意得队除第五场外，其他场次获胜的概率为，，，，，所以的分布列如下，012320．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明平面PAB即可;（2）由异面直线BM和CE所成角的余弦值为可得M坐标，后可得答案.【详解】（1）证明：在中，∵，，，由余弦定理可得：，即，∴，从而∵，∴∵平面平面PAD，平面ABCD平面PAD，AB平面ABCD.∴平面PAD，∴平面PAD，∴.∵，AB平面PAB，PA平面PAB，∴平面PAB.∵平面PAB，∴．（2）以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则，，，，则，，，.设，则设异面直线BM和CE所成角为，则得.此时，设面MAB的一个法向量为，有令，则，，取.设面PCD的一个法向量为，有令，则，，取设面MAB与面PCD的夹角为，则.即面MAB与面PCD夹角的余弦值为.21．(1)(2)证明见解析(3)【分