黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2024届数学高一上期末综合测试试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2024届数学高一上期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的定义域是（）A. B.C. D.2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位3．下列函数中在定义域上为减函数的是（）A. B.C. D.4．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.π B.6πC.5π D.8π5．已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，为所在平面内的一点，且满足，则点的坐标为（）A. B.C. D.6．已知函数f(x)=3x       A. B.C. D.7．设：，：，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.9．在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.10．已知，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.12．已知，且，则实数的取值范围为__________13．已知函数，则当______时，函数取到最小值且最小值为_______.14．已知定义在上的偶函数在上递减，且，则不等式的解集为__________15．①函数y=sin2x的单调增区间是[]，（k∈Z）；②函数y=tanx在它的定义域内是增函数；③函数y=|cos2x|的周期是π；④函数y=sin（）是偶函数；其中正确的是____________16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）求在上的最小值；（2）记集合，，若，求的取值范围.18．已知的内角所对的边分别为，（1）求的值；（2）若，求面积19．已知正项数列的前项和为，且和满足：（1）求的通项公式；（2）设，求的前项和；（3）在(2)的条件下，对任意,都成立，求整数的最大值20．已知.（1），求和的值；（2）若，求的值.21．已知向量，，且，满足关系.（1）求向量，的数量积用k表示的解析式；（2）求向量与夹角的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义【题目详解】解：要使原函数有意义，需解得，所以函数的定义域为．故选C【考点】函数的定义域及其求法【题目点拨】先把函数各部分的取值范围确定下来，然后求它们的交集是解决本题的关键2、A【解题分析】，设，，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.3、C【解题分析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.【题目详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.故选：C4、B【解题分析】由题意结合平面几何、线面垂直的判定与性质可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面几何的知识即可得该几何体外接球的球心及半径，即可得解.【题目详解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性质可知，线段CD的中点O到点A，B，C，D的距离均为，∴该三棱锥外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为4π＝6π.故选：B.【题目点拨】本题考查了三棱锥几何特征的应用及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.5、A【解题分析】设点的坐标为，根据向量的坐标运算得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出点的坐标.【题目详解】设点的坐标为，，，，，即，解得，因此，点的坐标为.故选：A.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】根据对数的运算性质求出，再根据指数幂的运算求出即可.【题目详解】由题意知，，则，所以.故选：B7、B【解题分析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.【题目详解】解：因为：，所以：或，因为：，所以是的充分不必要条件.故选：B【题目点拨】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.8、D【解题分析】根据题意，函数与图像有两个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.【题目详解】解：因为关于x的方程恰有两个不同的实数解，所以函数与图像有两个交点，作出函数图像，如图，所以时，函数与图像有两个交点，所以实数m的取值范围是故选：D9、D【解题分析】利用扇形的面积公式即可求面积.【题目详解】由题设，，则扇形的面积为.故选：D10、D【解题分析】根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.【题目详解】，所以，，不为1的情况下：，函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.故选：D【题目点拨】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒【题目详解】作出在上的图象（如图所示）因为，，所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，由，得，则，，，；当的图象与直线相交时，设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，由，得，则，，；所以.故答案为：.12、【解题分析】，该函数的定义域为，又，故为上的奇函数，所以等价于，又为上的单调减函数，，也即是，解得，填点睛：解函数不等式时，要注意挖掘函数的奇偶性和单调性13、①.②.【解题分析】利用基本不等式可得答案.【题目详解】因为，所以，当且仅当即等号成立.故答案为：；.14、【解题分析】因为，而为偶函数，故，故原不等式等价于，也就是，所以即，填点睛：对于偶函数，有．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理15、①④【解题分析】①由，解得．可得函数单调增区间；②函数在定义域内不具有单调性；③由，即可得出函数的最小正周期；④利用诱导公式可得函数，即可得出奇偶性【题目详解】解：①由，解得．可知：函数的单调增区间是，，，故①正确；②函数在定义域内不具有单调性，故②不正确；③，因此函数的最小正周期是，故③不正确；④函数是偶函数，故④正确其中正确的是①④故答案为：①④【题目点拨】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16、①.②.【解题分析】在等腰三角形中求得，由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积【题目详解】∵弧田所在圆的半径为6，弦的长是，∴弧田所在圆的圆心角，∴弧田的弧长为；扇形的面积为，三角形的面积为，∴弧田的面积为.故答案为：；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）【解题分析】（1）按对称轴与区间的相对位置关系，分三种情况讨论求最小值；（2）分与解不等式，再分析的情况即可求解.【小问1详解】解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.（i）当时，；（ii）当时，；（ⅲ）当时，【小问2详解】（2）解不等式，即，可得：当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.（i）当时，要使不等式的解集与有交集，由得：，此时对称轴为，∴只需，即，得.所以此时（ii）当时，要使不等式的解集与有交集，由得：，此时对称轴为，∴只需，即，得.所以此时无解.综上所述，的取值范围.18、（1）；（2）【解题分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求得则面积可求【题目详解】（1）由正弦定理得故；（2），由余弦定理，，解得因此，【题目点拨】本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题19、（1）；（2）；（3）7.【解题分析】（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．从而能求出{an}的通项公式;（2）由（1）知，由此利用裂项求和法能求出Tn（3）由（2）知从而得到．由此能求出任意n∈N*，Tn都成立的整数m的最大值【题目详解】（1）∵4Sn=（an+1）2，①∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②①-②得4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2化简得（an+an-1）•（an-an-1-2）=0∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）∴{an}是以1为首项，2为公差等差数列∴an=1+（n-1）•2=2n-1（2）∴（3）由（2）知，∴数列{Tn}是递增数列∴∴∴整数m的最大值是7【题目点拨】本题考查数列的通项公式的求法，考查裂项相消法求数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用20、（1）；（2）【解题分析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以