两年(22-23)高考数学真题专题分类汇编专题十二 概率统计（原卷版）

专题十二概率统计真题卷题号考点考向2023新课标1卷9样本的数字特征样本的平均值、中位数、标准差、极差21独立事件的概率、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列与数字特征求独立事件的概率、互斥事件的概率、求离散型随机变量的期望（概率与数列的综合应用）2023新课标2卷3随机抽样分层抽样12独立事件的概率求独立事件的概率19频率分布直方图、概率与函数的综合应用利用频率分布直方图求概率、概率与函数的综合应用2022新高考1卷5古典概型古典概型及其计算20独立性检验、条件概率独立性检验、条件概率的计算、新定义问题2022新高考2卷13正态分布正态分布求概率19概率统计的综合应用频率分布直方图、求对立事件的概率、求条件概率2021新高考1卷8独立事件独立事件的判断9样本的数字特征求样本的平均数、中位数、标准差、极差18离散型随机变量的分布列、期望求离散型随机变量的分布列及期望并作出决策2021新高考2卷6正态分布求正态分布的概率9样本的数字特征研究样本数据的离散程度与集中趋势21离散型随机变量的期望求离散型随机变量的期望、及期望的范围问题及期望的实际意义2020新高考1卷6事件间的关系事件间的关系及运算19古典概型、独立性检验古典概型的概率计算、独立性检验2020新高考2卷9统计图表折线图中的数据分析19古典概型、独立性检验古典概型的概率计算、独立性检验【2023年真题】1.（2023·新课标=2\*ROMANII卷第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有A.SKIPIF1<0种 B.SKIPIF1<0种 C.SKIPIF1<0种 D.SKIPIF1<0种2.（2023·新课标=1\*ROMANI卷第9题）（多选）一组样本数据SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是最小值，SKIPIF1<0是最大值，则(

)A.SKIPIF1<0的平均数等于SKIPIF1<0的平均数

B.SKIPIF1<0的中位数等于SKIPIF1<0的中位数

C.SKIPIF1<0的标准差不小于SKIPIF1<0的标准差

D.SKIPIF1<0的极差不大于SKIPIF1<0的极差3.（2023·新课标II卷第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为SKIPIF1<0，收到0的概率为SKIPIF1<0发送1时，收到0的概率为SKIPIF1<0，收到1的概率为SKIPIF1<0考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次SKIPIF1<0收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码SKIPIF1<0三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码SKIPIF1<0例如，若依次收到1，0，1，则译码为SKIPIF1<0A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为SKIPIF1<0

B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为SKIPIF1<0

C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为SKIPIF1<0

D.当SKIPIF1<0时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4.（2023·新课标=1\*ROMANI卷第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为SKIPIF1<0，乙每次投篮的命中率均为SKIPIF1<0，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为SKIPIF1<0SKIPIF1<0求第2次投篮的人是乙的概率.SKIPIF1<0求第i次投篮的人是甲的概率.SKIPIF1<0已知：若随机变量SKIPIF1<0服从两点分布，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，n，则SKIPIF1<0记前n次SKIPIF1<0即从第1次到第n次投篮SKIPIF1<0中甲投篮的次数为Y，求

SKIPIF1<05.（2023·新课标II卷第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为SKIPIF1<0；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为SKIPIF1<0假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.SKIPIF1<0当漏诊率SKIPIF1<0时，求临界值c和误诊率SKIPIF1<0；SKIPIF1<0设函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的解析式，并求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I卷第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·新高考II卷第13题）随机变量X服从正态分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.8.（2022·新高考I卷第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯SKIPIF1<0卫生习惯分为良好和不够良好两类SKIPIF1<0的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例SKIPIF1<0称为病例组SKIPIF1<0，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人SKIPIF1<0称为对照组SKIPIF1<0，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090SKIPIF1<0能否有SKIPIF1<0的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

SKIPIF1<0从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为SKIPIF1<0

SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0利用该调查数据，给出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的估计值，并利用SKIPIF1<0的结果给出R的估计值.

附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0kSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<09.（2022·新高考II卷第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样

本数据频率分布直方图.

SKIPIF1<0估计该地区这种疾病患者的平均年龄SKIPIF1<0同一组数据用该区间的中点值作代表SKIPIF1<0

SKIPIF1<0估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间SKIPIF1<0的概率;

SKIPIF1<0已知该地区这种疾病患者的患病率为SKIPIF1<0，该地区年龄位于区间SKIPIF1<0的人口数占该地区总人口数的SKIPIF1<0，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间SKIPIF1<0，求此人患这种疾病的概率SKIPIF1<0精确到SKIPIF1<0【2021年真题】10.（2021·新高考I卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立11.（2021·新高考II卷第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是(

)A.SKIPIF1<0越小，该物理量在一次测量中在SKIPIF1<0的概率越大

B.SKIPIF1<0越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为SKIPIF1<0

C.SKIPIF1<0越小，该物理量在一次测量中小于SKIPIF1<0与大于SKIPIF1<0的概率相等

D.SKIPIF1<0越小，该物理量在一次测量中落在SKIPIF1<0与落在SKIPIF1<0的概率相等12.（2021·新高考I卷第9题）（多选）有一组样本数据SKIPIF1<0，由这组数据得到新样本数据SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，c为非零常数，则A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II卷第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本SKIPIF1<0的离散程度的是(

)A.样本SKIPIF1<0的标准差 B.样本SKIPIF1<0的中位数

C.样本SKIPIF1<0的极差 D.样本SKIPIF1<0的平均数14.（2021·新高考I卷第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为SKIPIF1<0，能正确回答B类问题的概率为SKIPIF1<0，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

SKIPIF1<0若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

SKIPIF1<0为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【答案】15.（2021·新高考II卷第21题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：SKIPIF1<0的一个最小正实根，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0根据你的理解说明SKIPIF1<0问结论的实际含义．【2020年真题】16.（2020·新高考I卷第5题、II卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有SKIPIF1<0的学生喜欢足球或游泳，SKIPIF1<0的学生喜欢足球，SKIPIF1<0的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为(

)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<017.（2020·新高考II卷第9题）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(

)A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过SKIPIF1<0

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量18.（2020·新高考I卷第19题、II卷第19题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0浓度SKIPIF1<0单位：SKIPIF1<0，得下表：

SKIPIF1<0估计事件“该市一天空气中SKIPIF1<0浓度不超过75，且SKIPIF1<0浓度不超过150”的概率；

SKIPIF1<0根据所给数据，完成下面的SKIPIF1<0列联表：

SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0中的列联表，判断是否有SKIPIF1<0的把握认为该市一天空气中SKIPIF1<0浓度与SKIPIF1<0浓度有关？

附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0kSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案解析】1.（2023·新课标=2\*ROMANII卷第3题）解：结合题意初中部和高中部所占的比例为SKIPIF1<0，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为SKIPIF1<0

种，故选SKIPIF1<0

2.（2023·新课标=1\*ROMANI卷第9题）（多选）解：对于A：不妨令SKIPIF1<0，则故A错误；对于SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中位数是SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0是最小值，SKIPIF1<0是最大值，故SKIPIF1<0的中位数依然是SKIPIF1<0；故B正确；对于C：不妨令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的标准差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的标准差，故C错误；对于D：设SKIPIF1<0中最小值为SKIPIF1<0，最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确；故选SKIPIF1<03.（2023·新课标II卷第12题）（多选）解：SKIPIF1<0根据相互独立事件的概率乘法原理知：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为SKIPIF1<0，故A对.B.根据相互独立事件的概率乘法原理知三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为为SKIPIF1<0，故B对.C.采用三次传输方案，若发送1，译码为SKIPIF1<0则收到1的情况有2种，SKIPIF1<0个SKIPIF1<0个SKIPIF1<0SKIPIF1<0个SKIPIF1<0故概率为SKIPIF1<0，故C错.D.三次传输方案译码为0的概率：SKIPIF1<0单次传输方案译码为0的概率：SKIPIF1<0，作差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D对.故选：SKIPIF1<04.（2023·新课标=1\*ROMANI卷第21题）解：SKIPIF1<0第二次是乙投篮的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0第i次是乙投篮的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<05.（2023·新课标II卷第19题）解：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0依据“患病者”的频率分布直方图得SKIPIF1<0，依据“未患病者”的频率分布直方图得SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的最小值为：SKIPIF1<06.（2022·新高考I卷第5题）解：由题可知，总的取法有

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0种，

互质的数对情况有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共14个，

所以两个数互质的概率为SKIPIF1<07.（2022·新高考II卷第13题）解：由题意可知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<08.（2022·新高考I卷第20题）解：SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0列联表如下：不够良好良好总计病例组4060100对照组1090100总计50150200SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0有SKIPIF1<0的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;

SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0

又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，R的估计值为SKIPIF1<0

9.（2022·新高考II卷第19题）解：SKIPIF1<0平均年龄SKIPIF1<0SKIPIF1<0岁SKIPIF1<0

SKIPIF1<0设SKIPIF1<0一人患这种疾病的年龄在区间SKIPIF1<0，则

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0设SKIPIF1<0任选一人年龄位于区间SKIPIF1<0任选一人患这种疾病SKIPIF1<0，

则由条件概率公式，得SKIPIF1<0

10.（2021·新高考I卷第8题）解：由题意可知，两次取出的球的数字之和为8的所有可能为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两次取出的球的数字之和为7的所有可能为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得甲、乙、丙、丁事件发生的概率为：SKIPIF1<0甲SKIPIF1<0，SKIPIF1<0乙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0丙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0丁SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0甲丙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0甲丁SKIPIF1<0，SKIPIF1<0乙丙SKIPIF1<0，SKIPIF1<0丙丁SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0甲丁SKIPIF1<0甲SKIPIF1<0丁SKIPIF1<0，故选：B.11.（2021·新高考II卷第6题）解：对于A，SKIPIF1<0为数据的方差，所以SKIPIF1<0越小，数据在SKIPIF1<0附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于SKIPIF1<0的概率与小于SKIPIF1<0的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选SKIPIF1<012.（2021·新高考I卷第9题）（多选）解：假设SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0由样本平均数定义SKIPIF1<0，A错误;

对于SKIPIF1<0由中位数定义，两组样本数据样本中位数不相同，B错误;

对于SKIPIF1<0由样本标准差定义SKIPIF1<0

，可得两组样本数据样本标准差相同，C正确;

对于SKIPIF1<0由样本极差定义，第一组数据样本极差SKIPIF1<0，第二组样本数据极差SKIPIF1<0，D正确;故答案为：SKIPIF1<013.（2021·新高考II卷第9题）（多选）解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选SKIPIF1<014.（2021·新高考I卷第18题）解：SKIPIF1<0根据条件可知：若小明先回答A类问题，则小明的累计得分X的可能值为0，20，100，SKIPIF1<0小明能正确回答A类问题的概率为SKIPIF1<0，能正确回答B类问题的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则X的分布列为X020100PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若小明先回答B类问题，则小明的累计得分Y的可能值为0，80，100，同理可求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0则此时累计得分的期望值SKIPIF1<0又由SKIPIF1<0可求得，当小明先回答A类问题时，累计得分的期望值SKIP