2023-2024学年湖南省永州市重点中学高二上学期9月月考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省永州市重点中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线3x−3yA.30∘ B.60∘ C.120∘2.已知向量a=−1,2,1，b=A.3 B.−3 C.9 D.3.已知直线ax+2y=0与直线x+aA.1 B.−2 C.1或−2 4.已知a=2,3,1，b=1,−A.2b B.−2b C.25.若方程x25−m+y2mA.(−3,5) B.(−6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且A.1 B.2 C.13 D.7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分(包括边界)的动点，则yx−2的最小值为

A.−23 B.−32 C.8.已知圆C1:(x−1)2+(y+1)2=1，圆C2:(A.35+4 B.9 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设向量a,b,c可构成空间一个基底，下列选项中正确的是

A.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

B.则a,b,c两两共面，但a,b,c10.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把▵ABD和▵ACDA.AB⋅AC≠0

B.AB⊥DC11.方程k(x−1)+2=A.34 B.45 C.1 12.已知▵ABP的顶点P在圆C:x−32+y−42=A.▵ABP的面积的最大值为153

B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为42

C.有且仅有一个点P，使得▵ABP为等边三角形

D.有且仅有一个点三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，14.如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的15.已知⊙M：x−12+y−12=4，直线l：2x+y+2=0，点P为直线16.如图，棱长为2正方体ABCD−A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)若直线l的方程为ax(1)若直线l与直线m:(2)若直线l18.(本小题12.0分)

已知空间中的三点P(−2,0,2)，M(−1,1,2)，N(−3,0,419.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=−2x上，且圆M与直线x+y−1=0相切于点P(2,−1)．

(20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AB//(1)证明：直线PB(2)求直线PB与平面21.(本小题12.0分)

已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=4，BC=2，∠ACB=90∘，A1B⊥AC122.(本小题12.0分)

已知点A(1,0)，B(4,0)，曲线C上任意一点P满足|PB|=2|PA|．

(1)求曲线C的方程；

(2)设点答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角．解：由

3x−3y−又

0∘≤所以

α=60故选：B2.【答案】D

【解析】【分析】运用空间向量共线列式计算即可．解：∵

a=−1,2,1

，

∴

3−1解得

x=−6

，

∴

x+y故选：D．3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查直线方程计算，是基础题．

先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到a的方程，从而解得a的值．【解答】解：因为直线l1:a则两直线的斜率都应存在，所以由两直线平行得到a1解得a=1或故选：C．4.【答案】D

【解析】【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解．解：

a⋅b故

a

在

b

上的投影向量为

a⋅b故选：D5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查椭圆的概念及标准方程，属于基础题．

由已知可得5−【解答】解：由方程表示椭圆知5解得−3<m故答案选：C．6.【答案】A

【解析】【分析】根据向量线性运算，以

AB,AC,AP

为基底表示出

解：

∵EC=2PE∴D=2=23∴x=1

，

y=−23

，

故选：A．7.【答案】C

【解析】【分析】转化为点

Px,y

与

解：记

A2,0

，则

k=yx故当直线

AP

与半圆

x2+y此时设

AP:y=kx−2

，故

−1−2k即

kmin=故选：C8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查与两圆相关的最值问题，考查计算能力，属于中档题．

分析可知(|PN|−|PM|)max【解答】解：圆C1:x−1圆C2:x−4∵P又PNmax=点C24,5关于PC2所以，PN故选B．9.【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可依次求解．解：由

a,b在A中，若

a⊥b

，

b⊥c

，则

a

与

c在B中，由基底的定义可知，

a,b,c

两两共面，但

a在C中，

a,b,c

是空间一个基底，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量

p

，总存在有序实数组

x,y,z在D中，假设向量

a+b,b+c,c+a化简得

−x+yc+1所以

1−x所以

a+b,b故选：B10.【答案】AB【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理可得

BD⊥

平面

A解：因为平面

ABD⊥

平面

ACD

，平面

ABD∩

平面

ACD=AD

所以

BD⊥

平面

A建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y设斜边

BC=2

，则

可得

AB=对于选项A：

AB⋅AC对于选项B：

AB⋅DC=1×0对于选项C：

BD⋅AC=−1×对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量

B设平面ABC的法向量为

n=x,y令

x=1

，则

y=z=1则

BD⋅平面ADC的法向量和平面AB故选：AB11.【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，函数

y=1−x2

的图象和直线

y=k解：方程

1−即函数

y=1−x2

的图象和直线而函数

y=1−x2

是以原点为圆心，半径等于1的上半圆(位于

x

轴及直线

y=k(x−1)+2

，即

kx当直线和半圆相切时，由

|0+0+2−当直线经过点

A(−1,0)

时，由

0数形结合可得

k

的范围为

(34

，

1故选：BC．

12.【答案】AC【解析】【分析】设点

P

到直线

AB

的距离为

h

，由

h≤PD≤PO+OD≤PC+OC+OD

求得

h

的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用

解：设线段

AB

的中点为

D

，因为圆

O

的半径为2，

AB所以

OD=22−

对于A选项，设点

P

到直线

AB

的距离为

h

，则

h≤所以当且仅当

P,D,O,C

四点共线时，点

P

到直线

AB

距离的最大值为15，所以

▵A对于B选项，点

C

到直线

PA

的距离小于等于

CA

，当

PA⊥CA

时，等号成立，又所以点

C

到直线

PA

的距离的最大值为7，这时直线

PA

被圆

C

截得的弦长的最小值为

281对于C选项，若

▵ABP

为等边三角形，则需

PD⊥AB

，

所以点

D

的轨迹是以

O

为圆心的单位圆，所以

PDmin=PO−1

，又

PO当且仅当

P,D,O,C

四点共线时成立，因此有且仅有一个点

P

，使得对于D选项，若直线

PA

，

PB

都是圆

O

的切线，则

PA⊥OA同上，当且仅当

P,O,C

三点共线时，

POmin=4

，因此有且仅有一个点

P

，使得直线

PA

，

故选：A13.【答案】16

【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义，属于基础题．

根据椭圆的定义即可求解．【解答】

解：由已知椭圆方程可得a2=16，所以a=4，

又由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF14.【答案】5【解析】【分析】由空间向量的加法法则有

AC1解：平行六面体

ABCD−A1AC1=.

∴AC故答案为：

5

15.【答案】1

【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．解：⊙M：

(x−1)2+(

|MA|=2

故要使

|PA|

最小，则

|P因为圆心M到直线l：

2x+y+2=∴

|PA|

故答案为：1．16.【答案】85【解析】【分析】本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点

P

的轨迹，最后利用对称的知识得到最值．

以点

C

为坐标原点，

CD

、

CB

、

CC1

所在直线分别为

x

、

y

、

z

轴建立空间直角坐标系，设点

P0,y,z0≤y≤2,0≤z≤2

，求得

y=2z

，取线段

BB1

解：以点

C

为坐标原点，

CD

、

CB

、

CC1

所在直线分别为

x

、

y

、则

D12,0,2

、

O1,1,D1O=−1,因为

D1O⊥PO

，则

D1O⋅OP由题意可得

0≤z≤20≤取点

E0,2,1

，则点

P

的轨迹为线段

CE

，设点

B

关于直线

C则线段

BB′

的中点

M0,2+s2,t2

在直线

CBB′=0,s−2联立①②可得

s=65

，

t=85

，则点

所以，点

P

到底面

ABCD

的距离与它到点

即为点

B′

到平面

ABCD

的距离，即为故答案为：

85

17.【答案】解：(1)∵直线l∴2a−(2)当a=0时，直线当a≠0时，可得直线l与坐标轴的交点(0∵直线l在两轴上的截距相等，∴a+2∴该直线的方程为：x−y=

【解析】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

(1)直线l与直线m:2x(2)当a=0时，直线l化为：y=1.不满足题意．当a≠018.【答案】解：由题意可求得a=PM=(1,1,0)，b=PN=(−1,0,2)，

(1)可得ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=(k+2,k,−【解析】本题考查空间点线间距离的求法，向量的数量积的应用，是中档题．

(1)利用空间向量的坐标运算，表示两个向量，利用向量的数量积为0，求解k即可．

(2)求出直线19.【答案】解：(1)过点(2,−1)且与直线x+y−1=0垂直的直线方程为x−y−3=0，

由y=−2xx−y−3=0

解得x=1y=−2，

所以圆心M的坐标为(1,−2)，

所以圆M的半径为r=2，

所以圆M的方程为

(x−1)2+(y+2)2=2.

(2)【解析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

(1)求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；

(2)分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为20.【答案】(1)证明：连接BD交AC于点H，连接HE，

∵AB//DC，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴H是BD中点，又E为线段PD的中点，

∴HE//PB，

又HE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴

直线PB//平面ACE．

(2)解：∵AB⊥平面PAD，

在平面ADP内作Ax⊥AP，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求线面夹角，考查计算能力以及逻辑推理能力，属于中档题．

(1)连接BD交AC于点H，连接HE，证明HE//PB，从而可证明PB//平面ACE；21.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1ACC1是平行四边形，而AC=AA1，则平行四边形A1ACC1是菱形，连接A1C，如图，

则有A1C⊥AC1，因A1B⊥AC1，A1B∩A1C=A1，

A1B，A1C⊂平面A1BC，于是得AC1⊥平面A1BC，

而BC⊂平面A1BC，则AC1⊥BC，由∠ACB=90∘，得AC⊥BC，AC∩AC1=A，AC，AC1⊂平面A1ACC1，

从而得BC⊥平面A1ACC1，又BC⊂平面ABC，所以平面A1ACC1⊥平面ABC．

(2)解：在平面【解析】本题考查了面面垂直的证明和直线与平面所成的角的计算，属于中档题．22.【答案】(1)设P(x,y