老高考适用2023版高考数学二轮总复习第1篇核心素养谋局思想方法引领第3讲思想方法课件

第一篇核心素养谋局•思想方法引领第3讲思想方法高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．一、函数与方程思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．思想方法解读函数与方程思想的应用主要体现在：1．在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．2．函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．3．在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果．思想方法应用典例1D

【解析】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，可得x＞0时，f(x)＝－x2＋2x，又x＞0时，f(x)＝－x2＋bx，所以b＝2．故选D．A

C

(－∞，－32]∪(0，＋∞)

[－4，－2)

所以g(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，作出g(x)的图象如图所示，由图可知1≤t＜4，且x1，x2是方程－x2－4x－t＝0的两个实根，所以x1＋x2＝－4，因为x3满足2x3－t＝0，即x3＝log2

t，因为1≤t＜4，所以log21≤log2

t＜log24，所以0≤x3＜2，所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2)．故答案为[－4，－2)．

如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，AP＝AB＝2，∠AEF＝θ，当θ变化时，求三棱锥P－AEF体积的最大值．典例2【解析】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．又因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF．所以EF是AE在平面PBC内的射影．因为AE⊥PB，所以EF⊥PB，又AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF，所以PE⊥平面AEF．在Rt△PAB中，因为AP＝AB＝2，AE⊥PB，二、数形结合思想

数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．思想方法解读数形结合思想的应用主要体现在：1．利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．2．向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．3．对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．思想方法应用典例3A

(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga

x恒成立，则底数a的取值范围为_______________．{a|1＜a≤2}

【解析】设y＝(x－1)2，y＝loga

x，在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0＜a＜1，则当x∈(1,2)时，(x－1)2＜loga

x是不可能的，

已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标．典例4【解析】因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ．则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．三、分类讨论思想

分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．思想方法解读分类讨论思想的应用体现：1．概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．2．图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．思想方法应用3．某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．

(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是 (

)典例5C

【解析】若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1．又S3＋S6＝2S9，①根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，②由①②可得S3＝2S6，【解析】

f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1．由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1．当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以a＝1．当－1＜a＜0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，

(1)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是 (

)D

典例6(2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0．所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．四、转化与化归思想

转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．思想方法解读转化与化归思想的应用体现：1．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．思想方法应用2．将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．3．函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)＞0和f(x)＜0的解集．典例7B

C

(1)由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是 (

)A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．1 D．2【解析】由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1．C

典例8【解析】

g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，

(2022·湖北模拟)已知函数f(x)＝ex－x＋acosx．(1)若函数f(x)在[0，π]上单调递增，求a的取值范围；(2)证明：当a≥1时，f(x)＞xlnx＋1－ax．【解析】

(1)函数f(x)在[0，π]上单调递增，f′(x)＝ex－1－asinx≥0在[0，π]恒成立，当a≤0时，即－a≥0，因为x∈[0，π]，sinx≥0，则－asinx≥0，又ex－1≥0，所以ex－1－asinx≥0，即f′(x)≥0恒成立，符合题意；当a＞0时，令g(x)＝ex－1－asinx，则g′(x)＝ex－acosx，典例9(2)证明：要证f(x)＞xlnx＋1－ax，即证ex－x＋acosx＞xlnx＋1－ax，x∈(0，＋∞)，即证ex＋a(x＋cosx)－x－1－xlnx＞0，x∈(0，＋∞)，设h(x)＝x＋cosx，h′(x)＝1－sinx≥0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h(0)＝1＞0，所以h(x)＞0，又因为a≥1，所以a(x＋cosx)≥x＋cosx，所以ex＋a(x＋cosx)－x－1－xlnx≥ex＋cos