2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在等腰梯形中，，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起使得平面平面.若动点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0）.若，则动点的轨迹围成的图形的面积为A. B.C. D.2．设，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.3．设定义在上的函数满足：当时，总有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B.C. D.5．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（）A. B.或C.或 D.或6．已知，则（）A.－ B.C.－ D.7．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）A. B.C. D.8．下列所给出的函数中，是幂函数的是A. B.C. D.9．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.12．为偶函数，则___________.13．函数函数的定义域为________________14．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.15．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________16．设向量，，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设集合，语句，语句.（1）当时，求集合与集合的交集；（2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.18．已知集合A={x|2-a⩽x⩽2+a}，B={x|（1）当a=3时，求A∩B，A∪∁（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围19．已知,，函数，（1）若，，求的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围20．已知a，b为正实数，且.（1）求a2＋b2的最小值；（2）若，求ab的值21．从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.条件一、，；条件二、方程有两个实数根，；条件三、，.已知函数为二次函数，，，.（1）求函数的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，∵BE=CF，θ1=θ2，∴PE=PF以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，设E（﹣，0），F（，0），P（x，y），则（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，轨迹为圆，面积为故答案选：D点睛：这个题考查的是立体几何中点的轨迹问题，在求动点轨迹问题中常用的方法有：建立坐标系，将立体问题平面化，用方程的形式体现轨迹；或者根据几何意义得到轨迹，但是注意得到轨迹后，一些特殊点是否需要去掉2、C【解题分析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系.【题目详解】，；，，，即，又，.故选：C.3、A【解题分析】将不等式变形后再构造函数，然后利用单调性解不等式即可.【题目详解】由，令，可知当时，，所以在定义域上单调递减，又，即，所以由单调性解得.故选：A4、B【解题分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【题目详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【题目点拨】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.5、B【解题分析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为，再由其单调性可得，解不等式可得答案【题目详解】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B6、D【解题分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式即可直接得出结果.【题目详解】由题意得，，即，所以.故选：D.7、C【解题分析】代入后根据诱导公式即可求出答案【题目详解】解：由题，∴，∴，故选：C【题目点拨】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题8、B【解题分析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论【题目详解】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确；故选B【题目点拨】本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题9、B【解题分析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.【题目详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是故选：B10、B【解题分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间【题目详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选【题目点拨】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角在中，，所以,所以锐角即二面角的平面角的大小为答案：点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围12、【解题分析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.【题目详解】由为偶函数，得，，不恒为，，，，故答案为：.13、（1,3）【解题分析】函数函数的定义域,满足故答案为（1,3）.14、【解题分析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为人进而求得样本中高三年级参加登山的人，即可求解.【题目详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且，所以样本中抽取的高三的人数为人，又因为全校参加登山的人数占总人数的，所以样本中高三年级参加登山的人数为，所以样本中高三年级参加跑步的人数为人.故答案为：.15、【解题分析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.【题目详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.因为，所以，在直三棱柱中，侧面是矩形且它的中心即为球心O，球的直径是的长，则，所以球的半径为故答案为：【题目点拨】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.16、【解题分析】，故，故填.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，应用集合的交运算求交集即可.（2）根据必要不充分关系有，即可求的范围.【小问1详解】由题设，，当时，所以；【小问2详解】由题设，，且，若是的必要不充分条件，则，又a为正实数，即，解得，故的取值范围为.18、（1）A∩B={x|-1⩽x⩽1或4⩽x⩽5}；A∪∁RB【解题分析】（1）a=3时求出集合A，B，再根据集合的运算性质计算A∩B和A∪∁（2）根据A∩B=∅，讨论A=∅和A≠∅时a的取值范围，从而得出实数a的取值范围【题目详解】解：（1）当a=3时，A={x|2-a⩽x⩽2+a}={x|-1⩽x⩽5}，B={x|x2-5x+4⩾0}={x|x⩽1A∩B={x|-1⩽x⩽1或4⩽x⩽5}；又∁RA∪∁（2）A∩B=∅，当2-a>2+a，即a<0时，A=∅，满足题意；当a⩾0时，应满足2-a>12+a<4，此时得0⩽a<1综上，实数a的取值范围是(-∞,1)【题目点拨】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题19、(1)（2）见解析.【解题分析】（1）利用同角三角函数基本关系式进行求解；（2）作差，分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想进行求解.试题解析：(1)依题意得，，即，即由，，得，（2）即不等式对任意恒成立，即下求函数的最小值令则且令1°当上单调递增，2°当，即时，3°当4°当，所以当时，；当或0<时,20、（1）1；（2）1.【解题分析】（1）根据和可得结果；（2）由得，将化为解得结果即可.【题目详解】（1）因为a，b为正实数，且，所以，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)因为(当且仅当a＝b时等号成立)，所以a2＋b2的最小值为1.（2）因为，所以，因为，所以，即，所以(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，因为，所以ab＝1.【题目点拨】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.21、（1）选择条件一、二、三均可得（2）【解题分析】