2024届江苏省常州市前黄高中高一上数学期末联考试题含解析

2024届江苏省常州市前黄高中高一上数学期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A.30° B.45°C.60° D.90°2．“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．函数的最小值和最大值分别为()A. B.C. D.4．设函数,则下列结论错误的是A.函数的值域为 B.函数是奇函数C.是偶函数 D.在定义域上是单调函数5．已知函数则的值为（）A. B.C.0 D.16．函数满足：为偶函数：在上为增函数若，且，则与的大小关系是A. B.C. D.不能确定7．函数是指数函数，则的值是A.4 B.1或3C.3 D.18．若，且，则的值是A. B.C. D.9．设，，，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.10．若是圆的弦，的中点是(－1，2)，则直线的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：每户每月用水量水价不超过12m的部分3元/m超过12m但不超过18m的部分6元/m超过18m的部分9元/m若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为____________.12．函数的最大值是，则实数的取值范围是___________13．已知函数,现有如下几个命题：①该函数为偶函数；

②是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为；④该函数的图像关于点对称；⑤该函数值域为.其中正确命题的编号为______14．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.15．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）①；②.16．已知函数的两个零点分别为，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，函数.（1）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个不同实数根，求的取值范围.18．某形场地，，米（、足够长）.现修一条水泥路在上，在上），在四边形中种植三种花卉，为了美观起见，决定在上取一点，使且.现将铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为米.（1）设，将l表示成的函数关系式；（2）求l的最小值.19．已知（其中a为常数，且）是偶函数.（1）求实数m的值；（2）证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小.20．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调减区间；（3）当时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E（Ⅰ）若AB的长等于，求直线l的方程；（Ⅱ）是否存在常数k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,所以（或其补角）就是PA与BD所成的角；因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=所以OD=OE=DE=,是正三角形，，故选C2、A【解题分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【题目详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A3、C【解题分析】2.∴当时，，当时，，故选C.4、D【解题分析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【题目详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，所以的值域为，所以选项是正确的；又，，所以在定义域上不是单调函数，故选项是错误的；因为当时，，所以，当时，，所以，所以在定义域内恒成立，所以为奇函数，故选项是正确的；因为恒成立，所以函数为偶函数，故选项是正确的.故选：D【题目点拨】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.5、D【解题分析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；【题目详解】解：因为，所以，所以，故选：D6、A【解题分析】根据题意，由为偶函数可得函数的对称轴为，进而结合函数的单调性可得上为减函数，结合，且分析可得，据此分析可得答案【题目详解】根据题意，函数满足为偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由在上为增函数，则在上为减函数，若，则，又由，则，则有，又由，则，故选A【题目点拨】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及函数的对称性，属于中档题7、C【解题分析】由题意，解得．故选C考点：指数函数的概念8、B【解题分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解【题目详解】由题意，知，且，所以，则，故选B【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9、B【解题分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.【题目详解】，即，，，因此，.故选：B.10、B【解题分析】由题意知，直线PQ过点A（-1，2），且和直线OA垂直，故其方程为：y﹣2=（x+1），整理得x-2y+5=0故答案为B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可.【题目详解】解：当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过，当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过，即有，因此本月用水量为，故答案为：12、[－1,0]【解题分析】函数，当时，函数有最大值，又因为，所以，故实数的取值范围是13、②③【解题分析】由于为非奇非偶函数,①错误.,此时,其在上为增函数,②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.14、1【解题分析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.【题目详解】根据题意可得，平面，故可得，又因为，故可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.15、【解题分析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可【题目详解】由知函数的周期是，则满足条件，，满足条件，故答案为：（答案不唯一）16、【解题分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；【题目详解】解：依题意令，即，所以方程有两个不相等实数根、，所以，，所以；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】(1)利用函数的单调性去掉法则转化成不等式组恒成立，再借助均值不等式计算作答.(2)求出方程的二根，再结合对数函数的意义讨论即可计算作答.【小问1详解】依题意，，，，，而恒有，于是得，，，而，当且仅当，即时取“=”，于得，因此有，所以实数取值范围是.【小问2详解】依题意，，由，因此，，，解得，，因原方程有两个不同实数根，则，解得且，所以的取值范围是.【题目点拨】结论点睛：对于恒成立问题，函数的定义域为D，(1)成立⇔；(2)成立⇔.18、（1）见解析；（2）20.【解题分析】（1）设，可得：，；（2）利用二次函数求最值即可.试题解析：（1）设米，则即,（2），当，即时，取得最小值为，的最小值为20.答：的最小值为20.19、（1）（2）【解题分析】（1）由偶函数的定义得对任意的实数恒成立，进而整理得恒成立，故；（2）设，进而得唯一实数根，使得，即，故，再结合得得答案.【小问1详解】解：因为是偶函数，所以对于任意的实数，有，所以对任意的实数恒成立，即恒成立，所以，即，【小问2详解】解：设，因为当时，，所以在区间上无实数根，当时，因为，，所以，使得，又在上单调递减，所以存在唯一实数根；因为，所以，又，所以，所以.所以20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）根据函数在同一周期的最值，确定最小正周期和，再由最大值求出，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调递减区间列出不等式求解，即可得出结果；（3）根据自变量的范围，先确定的范围及单调性，根据函数有两个零点，推出函数与直线有两不同交点，进而可得出结果.【题目详解】（1）因为函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值，，，则，所以；又，所以，解得，又，所以，因此；（2）由，解得，∴函数的单调递减区间为；（3）由，解得，即函数的单调递增区间为；，所以在区间上单调递增，在上单调递增；所以，，，又有两个零点，等价于方程有两不等实根，即函数与直线有两不同交点，因此，只需，解得，即实数的取值范围是【题目点拨】思路点睛：已知含三角函数的函数在给定区间的零点个数求参数时，一般需要分离参数，将问题转化为三角函数与参数对应的直线交点问题求解，利用三角函数的性质，确定其在给定区间的单调性与最值等，即可求解（有时需要利用数形结合的方法求解）.21、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在实数满足题意【解题分析】（Ⅰ）待定系数法，设出直线，再根据已知条件列式，解出即可；（Ⅱ）假设存在常数，将转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，由直线与圆相交可求得范围．由斜率相等可求得的值，从而可判断结论【题目详解】（Ⅰ）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2∵|AB|=，∴圆心Q到直线l的距离d==，∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2（Ⅱ）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4