材料力学-第五版-第六章

第六章弯曲变形1第六章弯曲变形§6-1

工程中弯曲变形问题§6-2

挠曲线的微分方程§6-3

用积分法求弯曲变形§6-6

提高弯曲刚度的一些措施§6-5

简单超静定梁

§6-4用叠加法求弯曲变形2

工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证构件的正常工作，成为弯曲变形问题。出现“爬坡”现象

使齿轮啮合力沿齿宽分布极不均匀，加速齿轮的磨损。§6-1工程中弯曲变形问题3§6-2挠曲线的微分方程直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q称为横截面的转角(angleofrotation)。第五章梁弯曲时的位移4弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflectioncurve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：第五章梁弯曲时的位移5直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。第五章梁弯曲时的位移(a)(b)6在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；

顺时针转向的转角

为正，逆时针转向的转角

为负。第五章梁弯曲时的位移7挠曲线近似微分方程的导出在§5-2(P142页)中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。第五章梁弯曲时的位移8在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有第五章梁弯曲时的位移9从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q=w'沿x方向的变化率，是有正负的。第五章梁弯曲时的位移10第五章梁弯曲时的位移再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"

，正弯矩对应于负值的w"

，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w

2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程11挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundarycondition)确定积分常数。第五章梁弯曲时的位移§6-3用积分法求弯曲变形12当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有第五章梁弯曲时的位移以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。13边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。第五章梁弯曲时的位移14若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraintcondition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuitycondition)。这两类条件统称为边界条件。第五章梁弯曲时的位移15

例题6-1试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移16解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在x=0处

，w=0第五章梁弯曲时的位移17从而有转角方程挠曲线方程根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。第五章梁弯曲时的位移18可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有第五章梁弯曲时的位移19由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。第五章梁弯曲时的位移20两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有事实上，当以x为自变量时第五章梁弯曲时的位移21

例题6-2试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移22解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：第五章梁弯曲时的位移23该梁的边界条件为在x=0处w=0，在x=l处w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程第五章梁弯曲时的位移24根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为第五章梁弯曲时的位移25

例题6-3试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。第五章梁弯曲时的位移26解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同。第五章梁弯曲时的位移27两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：挠曲线近似微分方程积分得左段梁右段梁第五章梁弯曲时的位移28值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含有(x-a)的项没有以x为自变量而是以(x-a)作为自变量进行积分的，因为这样可在运用连续条件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x为自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁弯曲时的位移29该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处w1=0，在x=l处w2=0连续条件：在x=a处

，w1=w2第五章梁弯曲时的位移由两个连续条件得：由支座约束条件w1|x=0=0得从而也有30由另一支座约束条件w2|x=l=0有即从而也有第五章梁弯曲时的位移31从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁第五章梁弯曲时的位移32左、右两支座处截面的转角分别为当a>b时有第五章梁弯曲时的位移33显然，由于现在a>b，故上式表明x1<a，从而证实wmax确实在左段梁内。将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所在

处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程

等于零，得第五章梁弯曲时的位移34由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致

b2和

l2相比可略去不计时有它发生在处。而此时处(跨中点C)的挠度wC为第五章梁弯曲时的位移35当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。第五章梁弯曲时的位移36

由于梁的挠曲线近似微分方程式是线性微分方程式，梁截面的剪力、弯矩、转角和挠度都是载荷的线性函数。因此可用迭加法计算梁的变形。即，由载荷系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引起的挠度曲线的迭加。

当梁上作用有各种不同的载荷时，M(x)就有比较多的项，若继续采用积分法计算梁的变形，其计算过程就比较繁琐，为此，在工程中常采用叠加法。§6-4用叠加法求弯曲变形37

运用叠加法，可以求出载荷共同作用下的挠度和转角。其步骤如下:1.求出各载荷单独作用时的变形；2.求其代数和。38例6-4简支梁承受均布载荷ｑ和集中力P的作用，EI为常数求：梁中点C的挠度。从表(6)、(7)查得：(↓)总挠度为：解首先把作用在粱上的载荷系分解为只有均布载荷q作用(b)和只有集中力P作用(c)两种情形。(↓)39例6-5求外伸梁在均布载荷作用下梁中点E的挠度。解把外伸梁变换为简支梁AB，根据力线平移定理，在简支梁上除作用有均布载荷q外，在点A和B处还作用有集中力P＝qa和集中力偶查表（6）、（5）得：两个力偶Ｍ0产生挠度大小相等方向一致40

例题6-6试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角qB，以及A端和BC段中点D