材料力学(II)第六章

第6章动荷载·交变应力§6-5钢结构构件及其连接的疲劳计算§6-1概述§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算§6-4交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限1§6-1概述

动荷载：荷载随时间作急剧的变化，或加载过程中构件内各质点有较大的加速度。本章研究以下几种动荷载问题：前面各章中研究了在静荷载作用下，构件的强度，刚度和稳定性问题。本章研究动荷载问题。Ⅰ.构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力问题；Ⅱ.构件受冲击荷载作用时的动应力；Ⅲ.构件在交变应力作用下的疲劳破坏。2§6-2构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力计算Ⅰ.构件作加速运动时，构件内各质点将产生惯性力，惯性力的大小等于质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。Ⅱ.动静法：在任一瞬时，作用在构件上的荷载，惯性力和约束力，构成平衡力系。当构件的加速度已知时，可用动静法求解其动应力。动静法的应用3一钢索起吊重物M（图a），以等加速度a提升。重物M的重量为P，钢索的横截面面积为A，不计钢索的重量。试求钢索横截面上的动应力sd。例题6-14设钢索的动轴力为FNd，重物M的惯性力为（↓）（图b），由重物M的平衡方程可得(1)令（动荷因数）(2)则(3)解:1.求钢索的动轴力例题6-15钢索横截面上的动应力为(4)式中，为静应力。由(3)，(4)式可见，动荷载等于动荷载因数与静荷载的乘积；动应力等于动荷载因数与静应力的乘积。即用动荷因数反映动荷载的效应。2.求钢索横截面上的动应力例题6-1616号工字钢梁，以等加速度a=10m/s2上升，吊索横截面面积A＝108mm2，，不计钢索质量。求：(1)吊索的动应力sd

;(2)梁的最大动应力sd,max。例题6-27

解:1.

求吊索的sdqst=20.5×9.81=201.1N/m吊索的静轴力为16号工字钢单位长度的重量为例题6-28吊索的静应力动荷因数为吊索的动应力为例题6-292.求梁的sd,maxC截面上的静弯矩为例题6-210查表16号工字钢的弯曲截面系数为梁的最大静应力为梁的最大动应力为例题6-211均质等截面杆AB，横截面面积为A，单位体积的质量为r，弹性模量为E。以等角速度w绕y轴旋转。求AB杆的最大动应力及杆的动伸长（不计AB杆由自重产生的弯曲）。例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B12惯性力的集度为AB杆的轴力为x=0时，解:1.求AB杆的动轴力例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B13AB杆的最大动应力为（与A无关）AB杆的伸长量为（与A无关）2.求AB杆的最大动轴力和动伸长例题6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B14薄壁圆环以等角速度w转动，其横截面面积为A，材料的密度为r。求圆环横截面上的正应力。例题6-415沿圆环轴线均匀分布的惯性力的集度（图b）为解:1.加惯性力例题6-416横截面上的正应力为由圆环上半部分（图c）的平衡方程得2.求sa例题6-417直径d=100mm的圆轴，右端有重量

P=0.6kN,直径D=400mm的飞轮，以均匀转速n=1000r/min旋转（图a）。在轴的左端施加制动力偶Md（图b），使其在t＝0.01s内停车。不计轴的质量。求轴内的最大切应力tdmax。例题6-518由于轴在制动时产生角加速度a，使飞轮产生惯性力矩Md（图b）。设飞轮的转动惯量为I0，则Md=I0a，其转向与a相反。轴的扭矩Td=Md。解:1.分析例题6-519轴的角速度为角加速度为其转向与n的转向相反。2.求tdmax例题6-520飞轮的惯性力矩为飞轮的转动惯量为轴的最大动切应力为例题6-521§6-3构件受冲击荷载作用时的动应力计算图a表示重量为P的重物，从高度h处自由落下，当重物与杆的B端接触的瞬间速度减少至零，同时产生很大的加速度，对AB杆施加很大的惯性力Fd，使AB杆受到冲击作用。重物称为冲击物，AB杆称为被冲击物，Fd称为冲击荷载。22Ⅱ.不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；Ⅰ.不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；Ⅲ.不计冲击过程中的能量损失。由于冲击时间极短，加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。23由机械能守恒定理可知：冲击过程中，冲击物所减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击物所增加的应变能，即(a)重物减少的势能为(b)Dd为重物的速度降为零时，B端的最大位移，称为动位移。重物的动能无变化(c)AB杆增加的应变能为(d)24由，得(e)将(e)式代入(d)式，得(f)由于(图c)（B端的静位移），(g)式化为(h)将(b)、(c)和(f)式代入(a)式，得(g)25解得(i)其中(6-1)Kd为动位移和静位移的比值，称为动荷载因数。(6-1)式为自由落体冲击时的冲击动荷载因数。将(i)式代入(e)式，得(j)AB杆的动应力为(k)26小结：凡是自由落体冲击问题，均可以用以上公式进行计算。Kd公式中，h为自由落体的高度，Dst为把冲击物作为静荷载置于被冲击物的冲击点处，被冲击物的冲击点沿冲击方向的静位移。h=0时，Kd=2（骤加荷载）由于不考虑冲击过程中的能量损失，Kd值偏大，以上计算偏于安全。其它冲击问题的Kd表达式，将根据具体情况由机械能守恒定律求出。27图a、b所示简支梁均由20b号工字钢制成。E=210×109Pa，P=2kN，h=20mm。图b中B支座弹簧的刚度系数k=300kN/m。试分别求图a、b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）hP1.5m1.5mzACBzhP1.5m1.5mACB(a)(b)例题6-628解:1.求图a梁的最大静应力由型钢表查得20b号工字钢的Wz和Iz分别为Wz=250×103mm3，Iz=2500×104mm4梁的最大静应力为AzhP1.5m1.5mCB例题6-629C截面的静位移为动荷因数为梁的最大动应力为2.求图a梁的最大动应力例题6-6303.求图b梁的动荷因数C截面的静位移为动荷因数为hP1.5m1.5mzACB例题6-631梁的最大动应力为4.求图b梁的最大动应力由于图b梁的B支座改用了弹簧，从而使梁的C截面的静位移增加，所以降低了动荷因数。例题6-6hP1.5m1.5mzACB32重物G的重量为P，以水平速度v冲击AB的C截面。设AB梁的弯曲刚度为EI，弯曲截面系数为W。试求梁的最大动应力sd,max。例题6-733这是水平冲击问题。冲击过程中，冲击物（重物G）的速度由v减小到零，冲击物减小的动能为解:1.分析冲击物的势能没有改变，即当冲击物冲击到AB梁时，梁受到冲击荷载Fd，梁的C截面产生动位移Dd，梁增加的应变能为例题6-734由于从而有故例题6-735由机械能守恒定律，即解得2.求水平冲击时的动荷因数Kd，并求sd,max例题6-736水平冲击时的冲击动荷因数为（把P作为静荷载置于C截面时，C处的静位移）。式中梁的最大动应力为例题6-737轴的直径d=100mm，长度l=2m，切变模量G=80×109Pa，飞轮的重量P=0.6kN，直径D=400mm，轴的转速n=1000r/min，AB轴的A端被突然刹车卡紧。求轴的

td,max（不计轴的质量）。例题6-838由于突然刹车的时间极短，飞轮产生很大的角加速度，具有很大的惯性力矩，使轴受到扭转冲击。根据机械能守恒定律，飞轮的动能转变为轴的应变能。由得解:1.分析例题6-8392.求td,max

例题6-840可见刹车时的td,max将增加很多。对于轴的强度非常不利，应尽量避免突然刹车。当轴在0.01s内停车时，由例题6-5知例题6-841钢吊索AC的A端悬挂一重量为P=20kN的重物，并以等速v=1m/s下降。当吊索长度l=20m时，滑轮D被卡住。试求吊索受到的冲击荷载Fd及冲击应力sd。吊索的横截面面积A=414mm

2，材料的弹性模量E=170GPa，不计滑轮的重量。若在上例题6-9述情况下，在吊索与重物之间安置一个刚度系数k=300kN/m的弹簧，吊索受到的冲击荷载又为多少？42由于滑轮突然被卡住，使重物的速度在极短的时间内降为零，重物产生很大的惯性力Fd，使吊索受到冲击。该题和以上各题不同的是，在滑轮被卡住前的瞬时，吊索在P力作用下已产生静位移和应变能解:1.分析例题6-943重物减少的势能为重物减少的动能为其中，为冲击过程中重物下降的距离。吊索增加的应变能为利用机械能守恒定律可以求出动荷载因数2.求动荷载因数Kd例题6-944在吊索和重物之间安置一弹簧时，

，Dst增加，Kd减小。冲击荷载为Fd=KdP。冲击应力为将已知数据代入相关公式，可求出最后结果，建议由读者完成。例题6-945§6-4交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限I.交变应力的概念交变应力——随时间作交替变化的应力。火车轮轴的受力图和弯矩分别如图a、b所示。(a)FFwdaaFFFaMxO(b)46可见sk随时间t是按正弦规律变化的(图c)。力F和弯矩不随时间变化，但因轴以速度w旋转，使其横截面上任一点k到z轴的距离为t的函数，k点的正应力为1234zydk47

s-t曲线称为应力谱。应力重复变化一次的过程，称为一个应力循环。应力重复变化的次数，称为应力循环次数。1234zydk48图a中，P为电动机的重量，电动机以等角速度w旋转，F0为因电动机的偏