直线、平面的投影(土建)

ABVWH1.3直线的投影

直线的投影可由该线的二点或一点已知一方向作出；b

b●●aa

a

b

●●●●

直线有特殊位置直线（平行线、垂直线）和一般位置直线之分；

直线对投影面H、V、W的倾角分别为、、。ababab

直线的投影一般情况下仍为直线；⒈直线对一个投影面的投影特性一.直线的投影特性

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影积聚为一点

积聚性

直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB真实性直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=AB.cos

类似性●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●2.直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。二.投影面平行线的投影1.水平线的投影

1）水平投影显实长；

2）其他两投影与相应的轴线平行；

3）水平投影现倾角。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″实长2.正平线的投影

1）正面投影显实长；

2）其他两投影与相应的轴线平行；

3）正面投影现倾角。实长

二.投影面平行线的投影1.水平线的投影3.侧平线的投影

1）侧面投影显实长；

2）其他两投影与相应的轴线平行；

3）側面投影现倾角。二.投影面平行线的投影2.正平线的投影1.水平线的投影三.投影面垂直线的投影1.铅垂线的投影

1）水平投影积聚成点；

2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。积聚成点2.正垂线的投影

2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。三.投影面垂直线的投影1.铅垂线的投影

1）正面投影积聚成点；3.侧垂线的投影

1）侧面投影积聚成点；

2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。2.正垂线的投影三.投影面垂直线的投影1.铅垂线的投影投影面平行线的投影水平线正平线侧平线投影面垂直线的投影铅垂线正垂线侧垂线例题：判断下列直线的位置四.一般位置直线的投影1）各投影均不与轴线平行，呈类似状；

2）投影图上没有反映真实倾角的投影存在；3）各投影均不反映实长。线段实长与倾角的求法

由于直线的线段长与其投影长度之间存在着余弦（cos）关系，故可利用直角三角形来进行求解。线段实长与倾角的求法

利用直角三角形法求直线AB的实长及其对V、H的倾角AB

a´b´AB

ABa´b´Xobayyzz

这一方法除求实长外，还可用来求解坐标差、投影长以及倾角的大小。五、直线上的点

◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a等比定理◆点分割线段成定比，点的投影必分割线段的投影成相同的比例——等比定理。即：

例1：判断点C是否在线段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：解法二：●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●（应用第三投影）（应用等比定理）例3：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?六、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。a

b

c

d

①abcdc

a

b

d

b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交投影特性：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影

3两直线交叉cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′为什么？两直线相交吗？不相交！交点不符合点的投影规律！accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′

同名投影可能相交，但交点不符合点的投影规律。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′投影特性：Ⅰ、Ⅱ是H面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是V面的重影点。垂直问题两直线垂直

直角投影定理：互相垂直的两直线，若一直线平行于投影面，则这两直线在该投影面的投影，反映直角。反之，若两直线的某一投影呈直角，且其中一直线平行于该投影面，则此两线必垂直。两直线垂直d

abca

b

c

●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.

例：作等腰直角三角形ABC，其中一直角边在正平线MN上，顶点A在EF上。c´b´cXoe´f´efmm´nn´a´abCBAENFM1.4平面的投影平面可由不在一直线上的三点、一点一线、二平行线、相交两线、及三角形乃至各种平面图形给定；平面与投影面的位置关系，仍然有特殊和一般之分。abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

一．平面的分类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面二．平面的投影特性投影面平行面的投影1.水平面的投影

1）水平投影反映实形；

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。实形2.正平面的投影投影面平行面的投影1.水平面的投影实形

1）正面投影反映实形；

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。3.侧平面的投影

2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。

1）侧面投影反映实形；2.正平面的投影投影面平行面的投影1.水平面的投影a

b

c

a

b

c

abc投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面垂直面的投影1.铅垂面的投影

1）水平投影积聚成线；

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。积聚成线类似形类似形

1）正面投影积聚线；

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。投影面垂直面的投影1.铅垂面的投影2.正垂面的投影积聚成线类似形类似形

2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。

1）侧面投影积聚线；3.侧垂面的投影投影面垂直面的投影1.铅垂面的投影2.正垂面的投影c

c

投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°一般位置平面的投影

各个投影的图形之间以及与空间平面图形之间，均保持着一种既不全等、又不相似的类似形状。c

例.已知平面ABC的正面投影、水平投影，求其侧面投影。b

a

c

abca

b

三．平面的迹线在投影体系中，空间平面与投影面的交线，称为迹线。以迹线的方式也可在投影体系中确定一个空间平面。三．平面的迹线

用迹线表示平面（实质上是用相交二线表示平面的特殊形式）三．平面的迹线四．平面上的点和线●●MN若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。位于平面上的直线应满足的条件：AB●M若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

面上取点的方法：首先面上取线abcb

c

a

例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

d

d四．平面上的点和线四．平面上的点和线在给定平面上取投影面的平行线

根据面上取点取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。

例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cb

唯一解！有多少解？四．平面上的点和线例3：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●①c

d

d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解k●②●abca

b

k

c

k●四．平面上的点和线bckada

d

b

c

k

例4：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD

的水平投影。解法二：cada

d

b

c

解法一：b方法一方法二最大斜度线

平面上垂直于该面迹线的直线，称为最大斜度线。最大斜度线必与属于该平面的投影面的平行线垂直。最大斜度线标志着该平面对于投影面的最大斜度。最大斜度线对于投影面的倾角，直接反映了该平面对于投影面的倾角。作最大斜度线n´ne´eXob´a´c´abcm´mmnMN

Z最大斜度线过C点作面上水平线CE过B点作面