( 线性代数)二次型和对称矩阵

二次型与对称矩阵(一)二次型及其矩阵(二)线性变换(一)二次型及其矩阵定义5

1(二次型)

只含有二次项的n元多项式称为x1

x2

xn的一个n元二次型

由二次型的系数可以构成一个n阶矩阵二次型的矩阵

由二次型的系数构成的n阶矩阵称为二次型的矩阵

显然

A是一个n阶对称矩阵

即AT

A

二次型的矩阵形式

我们常用

f(x)

xTAx(AT

A)表示二次型

称为二次型的矩阵形式

对称矩阵A的秩称为二次型f(x)

xTAx的秩

二次型与对称矩阵一一对应

(二)线性变换定义5

2(线性变换)

关系式称为由变量x1

x2

xn到变量y1

y2

yn的一个线性变量替换

简称线性变换

矩阵称为线性变换的矩阵

线性变换的矩阵形式设x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

则由变量x1

x2

xn到变量y1

y2

yn的线性变换可以写成矩阵形式

x

Cy说明

此时有y

C

1x

二次型的线性变换把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B为矩阵的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)

当|C|

0时称线性变换为非退化的线性变换或可逆的线性变换

说明

BT

(CTAC)T

B

CTAC

CTAC

B

线性变换的矩阵形式设x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

则由变量x1

x2

xn到变量y1

y2

yn的线性变换可以写成矩阵形式

x

Cy二次型的线性变换把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B为矩阵的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)二次型的标准形如果线性变换x

Cy是非退化的

yTBy有下面的形状

其中di

0(i

1

2

r

r

n)

我们称这个形状的二次型为二次型f(x)

xTAx的一个标准形

线性变换的矩阵形式设x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

则由变量x1

x2

xn到变量y1

y2

yn的线性变换可以写成矩阵形式

x

Cy二次型的线性变换把式x

Cy代入二次型f(x)

xTAx

得其中yTBy是以B为矩阵的y的n元二次型

xTAx

yTBy

yT(CTAC)y

(Cy)TA(Cy)易知

r

r(A)

r(B)

通过配方法将二次型改写成

解

通过配方法将二次型改写成

解

得原二次型的标准形

说明

定义5

3(合同矩阵)

设A

B为两个n阶矩阵

如果存在n阶非奇异矩阵C

使得

CTAC

B则称矩阵A合同于矩阵B

或A与B合同

记为A~B

二次型的矩阵A与经过非退化线性变换x

Cy得出的二次型的矩阵CTAC是合同的

合同关系的性质

(1)对于任意一个方阵A

都有A~A

说明

定义5

3(合同矩阵)

设A

B为两个n阶矩阵

如果存在n阶非奇异矩阵C

使得

CTAC

B则称矩阵A合同于矩阵B

或A与B合同

记为A~B

因为ITAI

A

I为n阶单位矩阵

合同关系的性质

(1)对于任意一个方阵A

都有A~A

(2)如果A~B

则B~A

说明

定义5

3(合同矩阵)

设A

B为两个n阶矩阵

如果存在n阶非奇异矩阵C

使得

CTAC

B则称矩阵A合同于矩阵B

或A与B合同

记为A~B

因为CTAC

B

则(C

1)TBC

1

A

合同关系的性质

(1)对于任意一个方阵A

都有A~A

(2)如果A~B

则B~A

(3)如果A~B且B~C

则A~C

说明

定义5

3(合同矩阵)

设A

B为两个n阶矩阵

如果存在n阶非奇异矩阵C

使得

CTAC

B则称矩阵A合同于矩阵B

或A与B合同

记为A~B

因为C1TAC1

B

C2TBC2

C

则

(C1C2)TA(C1C2)

C2TBC2

C而|C1C2