2022-2023学年江苏省淮安市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若复数满足方程（i是虚数单位），则（

）A．1 B．i C． D．【答案】C【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解【详解】因为，即，所以.故选：C.2．今年全国两会上，“大兴调查研究之风”写入政府工作报告.某地为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，决定采用分层抽样的方式从甲村、乙村、丙村抽取部分村民参与环保调查研究.已知甲村、乙村、丙村人数之比是，被抽到的参与环保调查研究的村民中，甲村的人数为40人，则参加调查研究的总人数是（

）A．80 B．800 C．100 D．60【答案】A【分析】根据分层抽样的相关知识直接计算.【详解】由题意可得，甲村人数占总体比例为，故调查的总人数为：，故选：A.3．下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可.【详解】只要两个向量不共线，即可作为基底向量对于A，因为，，所以，则共线，故A不符合；对于B，因为，，所以，则共线，故B不符合；对于C，因为，，所以，则共线，故C不符合；对于D，因为，，所以，则不共线，故D符合；故选：D.4．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员，只用现金支付的概率为0.05，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.1，则不用现金支付的概率为（

）A．0.9 B．0.85 C．0.95 D．0.8【答案】B【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，不用现金支付的概率为.故选：B5．在中，边长，，，则的外接圆的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出角，由正弦定理可得的外接圆的半径，进而可求面积.【详解】在中，，，所以，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以的外接圆的面积是.故选：A6．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．C． D．事件与事件相互独立【答案】D【分析】根据题意，画出Venn图求解.【详解】解：由题意得Venn图如下：由图知：，，，所以事件与事件不互斥，，，，故选：D7．若，，则（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合角的范围运算求解.【详解】因为，则，又因为，则，显然不成立，所以，解得.故选：D.8．在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用、、、四点共面，，由锥体体积公式，求出和的值，即可得的值.【详解】如图所示，

设，由、、、四点共面，设，则，即，得，又，，不共面，则，解得：，即，设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，所以，，，同理，，，，则四棱锥与四棱锥的体积比为.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.二、多选题9．下列结论中正确的有（

）A．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位B．若数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为7，方差为6C．在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16D．已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5【答案】ACD【分析】由随机数表法的性质可判断A；根据平均数、方差的计算公式分析新数据的方差、平均数即可得判断B；由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数即可判断C；分别求出这组数据的众数、中位数，由此判断D．【详解】对于A，因为共有1001件产品，所以所编的号码的位数最少是4位，故A正确；对于B，一组数据，这个数据的平均数为2，方差为3，则，，对于数据，其平均数，方差，故B不正确；对于C，设中间一个小长方形的面积为，其他8个小长方形的面积之和为，则有，解得：，所以中间一组的频数，故C正确；对于D，一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，所以它的众数3，6，8，中位数为5，故D正确.故选：ACD.10．在平行四边形中，，，为中点，为中点，延长交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】以为基底，结合向量共线的条件和平面向量基本定理，解决共线、垂直和向量数量积的运算.【详解】如图所示，

，，，为中点，为中点，，A选项错误；设，则，由与共线，，解得.，所以，B选项正确；，所以，C选项正确；，D选项正确.故选：BCD11．棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（

）A．平面B．与所成的角为60°C．平面截正方体的截面形状是五边形D．点在平面内运动，且平面，则的最小值为【答案】AC【分析】对于A，利用再证平面即可；对于B,首先要利用平行线做出异面所成得角，再进行求解即可；对于C，通过增补两个正方体，根据面面平行的性质，可以做出截面图；对于D，首先利用平面确定点位置再线段上，再做出垂线,根据相似三角形定理即可求得.【详解】对于A，如下图，连接,易得又,平面,又平面,故A正确.

对于B，如下图，取的中点,连接,则又,则或其补角为与所成的角.又正方体棱长为2，易求得,则，，故B错误.

对于C，如下图，增补两个正方体，取的中点,连接,则为的中点，连接交于连接交于,连接,则得到截面为五边.

对于D，如下图，连接

取得中点,连接,过作平面平面则点在线段上,最小值即为.又,,又,.故D错误.故选：AC.12．在中，，为线段上的两点，且，下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，，则D．若，，则的面积是【答案】CD【分析】由即可判断A；取特殊情况可判断B；分别在和中用正弦定理可判断C；D选项先证明得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积.【详解】对于A，，，因为，为线段上的两点，且，所以，且，则，故A错误；对于B，当点重合，点重合时，满足，此时，，则等式即为，此为恒等式，不一定有，故B错误；对于C，当时，点分别是线段的三等分点，设，则，，设，则，，在中，由正弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，即，化简得，因为，所以，即，故C正确；对于D，由，，可得点分别是线段的三等分点，则，设，，依题意有，，，，所以，，在中，由正弦定理得，即，所以，，同理在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理得，即，整理得，即，因为，所以或，即或，当时，，不合题意舍去，故可得，此时，，，，在中，由正弦定理得，即，而，所以可得，整理可得，因为，所以，解得，则此时，，所以的面积，故D正确.故选：CD【点睛】思路点睛：此题D选项比较难，解决此题的思路是可先证得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积.三、填空题13．已知淮安最近10天每天的最高气温（单位：）分别为31，26，28，25，24，28，26，30，27，30，则这10天平均气温的上四分位数为.【答案】30【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数.【详解】将样本数据由小到大排列依次为：24，25，26，26，27，28，28，30，30，31，因为，所以这组数据的上四分位数为第8个数30.故答案为：3014．复数与复数在复平面内对应的点分别为、，若为坐标原点，则钝角的大小为.【答案】/【分析】先得到、的坐标，则可求出，再由余弦定理可得，进而可求【详解】依题意，，，，则，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故答案为：15．在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了“方亭”的体积公式，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯形，上底为80米，下底为40米，开挖深度10米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修葺30座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，决定使用开挖河道产生土方的1%修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30米，上底面边长为24米，则“方亭”地基的高为米.【答案】3【分析】设“方亭”地基的高为米，计算出河道的体积再乘以就对于30“方亭”的体积可得答案.【详解】设“方亭”地基的高为米，根据题意可得，解得，则“方亭”地基的高为米.故答案为：3.四、双空题16．在中，角的对边为，，则，若的面积为，则.【答案】/-0.5【分析】第一个空由化简得到，再由正弦定理得，即可求出；第二个空由化简得，再由正弦定理得，代入三角形的面积公式化简即可求出，从而求出.【详解】第一个空：由得,即，即，所以异号且都不为，由正弦定理得，因为都不为，所以，即，所以；第二个空：由得：，即，即，由正弦定理得，所以的面积为：，所以，因为，所以，所以解得，即.故答案为：；.五、解答题17．设复数，，i为虚数单位.(1)若为纯虚数，求的值；(2)若为实数，求.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据复数的乘法运算结合纯虚数的概念运算求解；（2）根据复数的运算结合复数的概念解得，解法一：先求，再求模长；解法二：利用，直接运算求解.【详解】（1）因为，若为纯虚数，则，解得.（2）因为，若为实数，则，解得，即，解法一：因为，则；解法二：可得.18．如图，四棱锥的底面为正方形，平面.(1)求证：平面；(2)平面，平面交平面于，交底面于.求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明之；（2）由线面平行的性质定理可得，，再由线线平行的传递性可得.【详解】（1）∵底面为正方形，∴.∵平面，平面，∴.又∵，，平面，平面，∴平面.（2）∵，平面，平面平面，∴.同理有，∴.19．已知，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值.（2）根据，结合两角差的正余弦公式即可求值【详解】（1）因为，则，所以.（2）由（1）可得：，因为，则，可得，所以.20．为全面贯彻落实习近平总书记“把周总理的家乡建设好，很有象征意义”的殷切嘱托，近年来，淮安加快建设稻米、小龙虾、规模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大产业集群，小龙虾产业获批国家优势特色产业集群，创成以小龙虾为主导的国家现代农业产业园、特色农产品优势区.为了进一步扩大产业规模，某村农业综合服务中心决定对20户养殖户进行技术帮扶，每户配发同样重量的龙虾苗，经过一段时间的养殖后，根据这20户未存活的龙虾苗重量（单位：公斤）绘制如下频率直方图，未存活重量超过30公斤的养殖户，列为“重点帮扶养殖户”.

(1)根据频率直方图估计这20户的未存活龙虾苗的平均数和中位数；(2)现从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两户调查其养殖情况，求抽出来的养殖户中恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.【答案】(1)平均数23；中位数(2)【分析】（1）根据题意结合平均数、中位数的概念运算求解；（2）先求每组的人数，再结合古典概型运算求解.【详解】（1）根据频率直方图可得：每组的频率依次为，估计平均数为：.因为，可知中位数位于内，设为，则，解得，所以可估计中位数为.（2）由（1）可知：未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为；未存活龙虾苗重量在的养殖户有个，记为，；从“重点帮扶养殖户”中随机抽取两个，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中有且仅有一个“重点帮扶养殖户”在的情况有，，，，，，，，共8种情况，所以恰有一户未存活龙虾苗重量在的概率.21．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，平面平面.

(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点为，通过证明平面，从而可证得；（2）用等体积法求出点到平面距离，进而可得与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取中点为，连接，，.由侧面为正三角形知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.在底面中，，，∴，同理有，，由勾股定理知，即，又∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.

（2）在中，，，∴，，，，，设